書記が数学やるだけ#256 二項係数の性質

二項係数からは様々な性質が浮かび上がってくる。

問題

説明

二項係数は二項展開において係数として現れる数で，これを並べたものがパスカルの三角形である。

二項係数には，以下のような公式がある。

解答

(1)(2)では，定義通りに計算する方法と，具体例による解釈の2通りを紹介する。

二項定理に具体的な値を入れると，色々な公式が得られる。

これはカタラン数に通じる式で，係数比較により求められる。

ヴァンデルモンドの畳み込みも，係数比較により求められる。これは組合わせ論で重要な式である。

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