書記が物理やるだけ#288 ミンコフスキー空間の幾何的性質

ローレンツ変換を考えるのに役立つミンコフスキー空間について，基本的な性質を見ていく。

問題

説明

ミンコフスキー空間は，座標として時間と空間をとり以下のように内積を定める。ここで内積の符号により時間的・空間的・光的と領域が区別され，ヌルベクトルは光円錐と呼ばれる。

解答

本問では簡単のために時間1次元+空間1次元におけるローレンツ変換を考える。

座標系RとGの原点Oにおいて光を発したとき，光子の世界線は光円錐上のUおよびDである。Gの時空では，UとDは共にτ0秒だけG0から離れており，事象D,G0,Uは同時刻に起きる。しかし変換後のRの時空では，D,G0,Uの順に起こり同時性が失われる。

ローレンツ変換の行列を示すために，「光円錐が不変である→U,Dは固有ベクトル」を用いる。

ローレンツ行列は双曲線関数によっても表すことができる。

これがノルムを保つ（不変量）ことも示せる。

ミンコフスキー内積との関連について。

余弦定理の双曲線関数バージョンについて。

その他，ミンコフスキー空間とユークリッド空間との対応について数多くの性質を示すことができる。

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