書記が数学やるだけ#376 重積分の変数変換

変数変換ではヤコビアンが重要である。

問題

説明

全微分の係数行列として，ヤコビ行列が登場する。この行列式がヤコビアンである。

座標変換について。

これらのことをまとめると，積分変数の変換について表示できる。これは1変数関数でいう置換積分の拡張である。

解答

ヤコビアンは，全微分の係数行列の行列式として出てくる。

極座標変換について，微小面積を考えると図のようになる。

ヤコビアンは，変数変換における微小面積変化を示す。このことを平行四辺形の面積を求めることで示しておく。

例としてアフィン変換を見ていく。

アフィン変換により面積は変わりうるが，回転や平行移動では面積は変わらない。

具体的な計算問題。変数変換ではヤコビアンを忘れないように。

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