書記が数学やるだけ#749 円分多項式の性質，円分多項式による相互法則の証明

円分拡大を見るにあたって，円分多項式の性質を振り返っておく。

問題

説明

円分多項式について：

平方剰余の相互法則について，以前は整数論で扱った：

平方剰余の相互法則の別解として，円分多項式から派生したガウス和を用いて証明していく。

解答

1の原始n乗根との関係について。

円分多項式について，本式はx^n-1の因数分解を与える。

列挙して予想される通り，円分多項式はモニックな整数係数多項式である。

さらにZ[T]上で既約であることが言える，これは後々に便利な性質である。

平方剰余の相互法則について，第1法則はζ4，第2法則はζ8を用いて簡単に証明できる。

ここでガウス和の性質を与えておく。

これにより相互法則を示すことができた。

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