書記が数学やるだけ#797 ブラウン運動・幾何ブラウン運動

金融工学で頻出のブラウン運動・幾何ブラウン運動について簡単に見ていく。

問題

説明

ブラウン運動を表すモデルには，増分が正規分布で表されるウィーナー過程がある。

概形について，各時刻ごとで値が変動し，μはドリフト，σはボラティリティを示している。

幾何ブラウン運動 (GBM)は，対数変動が平均μ分散σのブラウン運動にしたがう連続時間の確率過程で，金融市場に関するモデルや金融工学におけるオプション価格のモデルでよく利用されている。

一般項の導出には，確率微分方程式における伊藤の公式を用いる。

解答

コイン投げの問題は二項分布に帰着でき，極限を取ることで正規分布に近似できた。確率過程でも同じようなことを示せるのが本問である。

ドリフトとボラティリティを加えたモデルについても確認しておく。ここでは定常増分性に注目しておく。

確率微分方程式はまた後日扱うが，伊藤のルールから伊藤の公式の導出を簡単に示しておく。

これにより，幾何ブラウン運動の一般項を求めることができ，対数変動が平均μ分散σのブラウン運動にしたがうことがわかった。

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