書記が数学やるだけ#159 点列コンパクト，最大値定理

距離空間における点列コンパクトについて扱っていく。

問題

今回は距離空間において議論する（後日，同じような話題を位相空間へと拡張する）。

説明

点列コンパクトとは。

点列コンパクトから，距離空間における最大値定理が導出できる。

解法

点列コンパクトの例として閉区間が挙げられる。これは区間縮小法により示される。同様の議論で，閉直方体も点列コンパクトである。

次に，連続写像fについてf(A)も点列コンパクトであることを示す。

点列コンパクトは，有界閉集合に置き換えが可能である。

これらを総力して，最大値定理を示す。実際にはsup f(A)がf(A)の最大値になっていることを示す。

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