書記が数学やるだけ#827 マシュケの定理，シューアの補題，指標の性質

有限群の表現に有用な定理をいくつか見ていく。

問題

説明

マシュケの定理・シューアの補題は，有限群の既約性を考える上で重要な定理である。対象により色々な言い方があるが，今回は○のみで十分。

群の表現の指標は，群の各元に対応する行列のトレースを対応させる写像であり，群の性質を濃縮している。

指標は，固体物理における結晶の対称性に用いられる：

指標表の作成には，指標における直交性が有用である：

解答

表現Vが部分表現WとG部分不変空間W'に分解できることを示し，これを繰り返し適用することでマシュケの定理が証明できる。

シューアの補題の証明では，核と像から同型を示していく。

指標の性質を示すにあたり，以下のような固定点集合を考える。

以上の定理・補題より，指標の正規直交性や位数との関係式などが導出できる。

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