書記が数学やるだけ#810 グリーン関数によるスツルム=リウヴィル型固有値問題の解法

スツルム=リウヴィル型固有値問題については，量子力学において重要なのでここで扱っておく。

問題

説明

スツルム=リウヴィル型微分方程式については以前に扱ったが，微分方程式のみの知識ではどうしても煩雑になる：

ここでブラケット記法について復習：

解答

スツルム=リウヴィル型微分方程式の演算子は自己随伴である。

ブラケット記法の意味さえわかれば，両辺を積分して解を求めることができる。

先に具体例として，調和振動子について計算してみる。解はnの個数だけ存在し，これは固有関数として表される。

一般のスツルム=リウビル型微分方程式は，固有値問題に帰着できる。

フーリエ変換を用いて，グリーン関数は以下のように表される。

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