書記が数学やるだけ#691 二重和の入試問題

二重和についての入試問題があったので紹介する。

問題

ここでは数列和の操作について問われているのだろう。なお2020東大文理にかなり難し目の類題がある。

説明

ここで重要なのはビネ・コーシーの恒等式である。これを用いて，クロス積のスカラー四重積の公式，ベクトル三重積の公式を示すことができる。

特殊例の中ではラグランジュの恒等式が重要。

解答

この二重和を書き下すと以下のような2次元配列が得られる。ここで縦から読むことでより解きやすい数列和へと変換できる。

より複雑な例について，この配列は横から読むと簡単には解けないが，縦から読むことで2つの数列和の組み合わせとして解くことができる。

ここでビネ・コーシーの恒等式について証明しておく，最後の変換は二重和の分解を逆に用いる。

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