書記が物理やるだけ#265 力学の次元解析

今回から数回に分けて次元解析について具体例を扱っていく。

問題

単位の次元のみから，さまざまな公式の形を導出していく。

説明

次元解析では，比例や何乗かなどといった各物理量における関係を，物理量の次元から解いていく。

ここで核となるのがバッキンガムのπ定理である。

解答

単振り子の周期を求めるには，振り子の長さ・おもりの質量・重力加速度の次元を用いる。周期の次元を求めるには，以下のような次元の行列を作り，掃き出し法により零空間を求めればよい。結果として，比例定数Cが決まらないことを除けば，確かに単振り子の周期が求められている。

ばね振り子の周期を求めるには，ばね定数・質量・重力加速度を用いる。

自由落下について，次元解析により微分方程式を用いずとも公式の形を示すことができる。

理想気体の状態方程式について，圧力・質量・平均速度・分子量の関係性を示しておく。

音速について，熱量と温度を加えて考える。

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