書記が数学やるだけ#249 無限級数の項の順序交換

今回から無限級数について扱う。

問題

無限級数の項について，順序交換をすると何が起こるのか。

説明

項の順序交換については，絶対収束と条件収束で全く異なる結果となる。

分配法則についても結果が異なる。

解答

「級数が絶対収束するなら，その和は項の順序を変更しても変わらない」ことについて。

正の項も負の項も無限個ある場合は，それぞれの級数で分けて考える。

「絶対収束する級数について，分配法則が成り立つ」ことの証明。

条件収束ではどうなるか。級数の和は，項の順序を変更すると変わり，さらに任意の値に変更できることがわかっている。

分配法則が成り立たないことは反例から示せる。

収束を議論する場合は，絶対収束か条件収束かで全く性質が変わってくるので注意が必要。

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