書記が数学やるだけ#618 離散量の不動点定理,ボルスク・ウラムの定理
位相空間の終盤で扱った不動点についての入試問題を見ていく。
問題
離散量の不動点定理を知らないと厳しい問題。
説明
不動点について,以前は連続写像について見ていった:
解答
条件より,1を2に,2を3にと写していくと,nをn+1とはならないため,どこかでmをmに写すことになる。グラフで示すと状況がわかりやすいだろう。
この東大の問題も,上と同じようにすれば容易に構造がわかる。
これはボルスク・ウラムの定理の1次元に相当し,以前の記事でも扱った。今回は例えとして「気温は赤道上で連続とするとき,赤道上には地球の裏側と気温の等しい地点が必ず存在する」ことを示すこととした。
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