書記が数学やるだけ#796 ポアソン過程

確率過程の例として，ポアソン過程の性質を計算していく。

問題

説明

ポアソン分布について復習：

ポアソン過程は，単位時間あたりの発生回数がポアソン分布となる確率過程である。

ポアソン過程は，回数から見るとポアソン分布，時間から見ると指数分布から構成されていると言える。

例えば，1分あたりに平均1人の客が来る店で，1分後に何人来るかの確率はλ=1のポアソン分布に従う。

一方で，次に客が来るまでの時間はλ=1の指数分布に従う。

λ=1のポアソン過程を以下に図示する。

解答

単位時間あたり1人来る確率が単位時間×λ（到着率）である場合，Ntはポアソン過程であることを計算で確かめる。ここで，定常独立増分であることが重要になってくる。

ポアソン分布は，式だけ見るとよくわからない形をしているが，身近な事象によく当てはまる分布である。

ポアソン過程の期待値・分散・共分散を求める。ここで，NsとNtは独立でない点に注意。

いくつか計算練習，定常独立増分による式変形が重要。

ポアソン過程から指数分布の存在を示す。なお，単位時間あたりを拡張するとガンマ分布に従うことが言える。

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