書記が数学やるだけ#314 コンパクト空間の性質-1

位相空間における「コンパクト」について。

問題

基本的な証明から。

説明

まず「被覆」を導入する。

コンパクトとは，「位相空間の任意の開被覆が有限部分被覆を含む」ことをいう。コンパクトにもいくつか表現法があり，これはハイネ・ボレル性によるものである。

連続写像のコンパクトによる記述。

解答

「位相空間の任意の開被覆が有限部分被覆を含む」という表現は，今後の証明で度々用いられる。

コンパクトであることを示すには，任意の開被覆が有限被覆を含むことを示す。

ハウスドルフ空間の任意のコンパクト集合は閉集合であることは，ハイネ・ボレルの被覆定理の証明に重要。

ハウスドルフ空間よりコンパクト→閉集合であることが言えることは，連続性の証明にも用いられる。

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