書記が数学やるだけ#763 連分数展開とペル方程式

連分数展開とペル方程式の密接な関係についてここで扱うことにする。

以前の説明：

問題

説明

ここで右辺を±4としているのは，後に扱う2次体の単数群と関連づけるためである。

解答

2次無理数の固定部分群とペル方程式を結びつける。

以下は連分数展開とペル方程式の整数解を結びつける定理である。

ペル方程式は，一つ基本解が求められれば，そのn乗により任意の解を表すことができる。証明は省略するが，2次無理数の固定部分群とペル方程式の基本解のn乗による群は同型であることが示される。

具体例として入試問題におけるペル方程式について。参考までに，連分数展開を用いた解法も示しておく。

任意の解は(1)で示した基本解のn乗であることを帰納法により示していく。

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