書記が数学やるだけ#826 群の表現

群の表現について，3次対称群の具体例をいくつか示す。

問題

説明

群の構造は，例えば表現行列を用いることでその表現を示すことができる。

群 Gの正則表現とは，GのG自身への移動による群作用によって与えられる線型表現を言う。

忠実表現（自然表現）とは，Gの異なる元 g がGL(V)の異なる線型写像ρ(g)に対応する線型表現である。

置換表現について，対称群の置換行列により構成されるものがある。

表現から別の表現を得る方法について，反傾表現（双対表現）やテンソル積表現などが挙げられる。

表現の既約性について，自明でない部分表現を持たない表現を既約表現という。

例として，3次対称群 の複素数体上の有限次元表現は，以下の自明表現・符号表現・スタンダード表現の直和に分解できる。

解答

3次対称群は，標準基底の入れ替えとして3×3行列で表現できる。しかし，ベクトルの不変性に着目することで，1次元自明表現と2次元スタンダード表現の既約分解として表現できる。

さらに自明表現・符号表現・スタンダード表現の直和に分解できることを，固有値問題から示す。

具体例として，スタンダード表現のテンソル積表現について示す。

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