書記が数学やるだけ#718 基底変換とテンソル演算，添字の上げ下げ

テンソル演算は基底によらないことが，さまざまな場面で重要な性質となる。

問題

説明

テンソルの縮約についてまとめておく。

計量テンソルには添字を上げ下げする役割がある：

解答

基底によらないことを示すために，「演算してから基底変換」と「基底変換してから演算」で結果が同じことを示していく。まずは和とスカラー倍をまとめて示す。

テンソル積について，基底変換は前回扱った通り。

縮約についても基底によらないことが示せる。

計量テンソルについて，具体的な計算例を示しておく。

本記事のもくじはこちら：