書記が数学やるだけ#237 Rolleの定理，Lagrangeの平均値の定理，Cauchyの平均値の定理，l’Hôpitalの定理

随分前に書いた時は端折ったところが多かったが，いずれも重要な定理なのでここで証明しておく。

問題

説明

Rolleの定理を起点とする。

これを用いて，2通りの平均値の定理が示せる。

Cauchyの平均値の定理の極限をとって，l’Hôpitalの定理が示せる。もし入試問題でl’Hôpitalの定理を使いたいのなら（使わないと思うが），最低限ここまでの背景を知っておくべきだろう。

解答

まず最大値の定理を確認する。

仮定より導関数が存在することから示していく。

次に平均値の定理について。

目的の形になるような関数を作り，それにRolleの定理を用いる。

こちらも同様に示す。

l’Hôpitalの定理は，Cauchyの平均値の定理の極限から示せる。

2021京大理系最後の問題，いかに平均値の定理の形に持ってくるかの発想が必要な問題。

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