書記が数学やるだけ#237 Rolleの定理，Lagrangeの平均値の定理，Cauchyの平均値の定理，l’Hôpitalの定理
随分前に書いた時は端折ったところが多かったが，いずれも重要な定理なのでここで証明しておく。
問題
説明
Rolleの定理を起点とする。
これを用いて，2通りの平均値の定理が示せる。
Cauchyの平均値の定理の極限をとって，l’Hôpitalの定理が示せる。もし入試問題でl’Hôpitalの定理を使いたいのなら（使わないと思うが），最低限ここまでの背景を知っておくべきだろう。
解答
まず最大値の定理を確認する。
仮定より導関数が存在することから示していく。
次に平均値の定理について。
目的の形になるような関数を作り，それにRolleの定理を用いる。
こちらも同様に示す。
l’Hôpitalの定理は，Cauchyの平均値の定理の極限から示せる。
2021京大理系最後の問題，いかに平均値の定理の形に持ってくるかの発想が必要な問題。
本記事のもくじはこちら：
