書記が数学やるだけ#380 ポリアの壺

今回はポリアの壺について，大学入試レベルから更に一般化をしてみる。

問題

説明

実際に図示してみる。

解答

n=3くらいは実際に試して計算してみる。

一般のnについて考えるには，nとn-1を比較して確率漸化式を立てる。

すると，赤玉がk個出てくる確率は一様分布に従うことがわかった。

以下のように直接計算することでも求められる。以後の一般化では，むしろこちらの解法の方がやりやすいのでこちらを採用する。

ここで，二項分布に関する等式を示しておく。

では，最初に入っている球の数を一般化する。(2)により式変形をすることで，ベータ分布を含む形に帰着できる。

最後に，追加する玉も一般化する。

このような壺問題は，確率過程を考える上で良いモデルとなりうる。

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