書記が数学やるだけ#111 偶関数と奇関数の和

偶関数と奇関数を意識することの重要性を感じてきたところで，それに関係のある大学入試問題について見ていくことにする。

問題

昨年度の共通テストより，問題自体は指数対数の基本問題で，見た目から双曲線関数を意識した人もいたと思う。ただ，今回はより抽象的な話題として「偶関数と奇関数の和」の前座として扱う。

説明

「任意の関数は偶関数と奇関数の和でただ一通りに表される」

このような形の関数として代表的なのが双曲線関数である。

参考：

解法

f(x)は偶関数，g(x)は奇関数である。

この加法定理みたいな式は，素直に計算すればいい。

青線がf(x)，赤線がg(x)，黒線がf(x)+g(x)=2^x のグラフ。

では本題に入る。関数を偶関数と奇関数の和に分けて，式変形をする。

関数の偶奇は，大学入試でも時折問われる他に，フーリエ解析をはじめとした数学への応用として重要である。性質は至ってシンプルなので覚えておきたい。

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