トランスフォーマーの仕組みを理解する：AIの核心に迫る数学の旅

はじめに：言葉を理解するAIの秘密

ChatGPTに代表される大規模言語モデルは、どのようにして人間のような自然な文章を生成できるのでしょうか？その核心には「トランスフォーマー」と呼ばれる技術があります。

今回ご紹介する『AIで学ぶAIがわかる数学入門』は、このトランスフォーマーの仕組みを数学的な視点から解き明かす、画期的な一冊です。

1. トランスフォーマーの全体像：文章生成の仕組み

1-1. 基本的な処理の流れ

トランスフォーマーの文章生成プロセスは、以下のような流れで行われます：

① 単語の生成プロセス

• 一度に文章全体を生成するのではなく、単語を一つずつ生成

• これまでに生成された単語を考慮して、次の単語を予測

• 予測は確率的に行われ、文脈に応じて適切な単語を選択

② 確率計算の仕組み

• 語彙（5万語以上）の中から、次に来る可能性のある単語を確率で評価

• 各単語にスコアを付け、そのスコアを確率に変換

• 確率に基づいて次の単語を選択

1-2. 具体例：「犬と」の次の単語予測

例えば、「犬と」という入力に対して：

予測例：
・「猫」（確率：40%）
・「散歩」（確率：25%）
・「遊ぶ」（確率：15%）
・その他（確率：20%）

2. 数学的基礎：確率計算の仕組み

2-1. ネイピア数eの役割

① ネイピア数の基本

• 約2.71828の値を持つ特殊な数

• 指数関数の底として使用

• 数値を必ず正の値に変換する特性

2-2. ソフトマックス関数

① 数式と役割

Softmax(xᵢ) = exp(xᵢ) / Σexp(xⱼ)
・xᵢ：各単語のスコア
・exp：ネイピア数eの指数関数
・Σ：全単語についての合計

② 特徴

• スコアを0から1の間の確率に変換

• 全確率の合計が1（100%）になるよう正規化

• より高いスコアの単語がより高い確率を得る

3. 単語の特徴表現：ベクトルと行列

3-1. ベクトルによる単語表現

① 単語のベクトル化

• 単語の意味や特徴を数値の列で表現

• 数万次元の高次元ベクトルを使用

• 文脈に応じて特徴が変化

② 具体例：「猫」のベクトル表現

v = [0.75, 1.23, -0.12, 0.95, -0.05, 4.32, ...])
・各数値が単語の特徴を表す
・実際には数万の要素を持つ

3-2. 内積による類似度計算

① 内積の基本

v・w = v₁w₁ + v₂w₂ + ... + vₙwₙ
・v, w：比較する2つのベクトル
・n：ベクトルの次元数

② 役割

• 二つのベクトルの類似度を数値化

• 文脈における単語の関連性を評価

• スコア計算の基礎となる演算

3-3. 行列計算

① 行列の基本

• 複数のベクトルを組み合わせた表現

• 文脈情報の変換に使用

• 線形変換を実現

② 行列の計算例

入力：2×3行列
変換：3×3行列
出力：2×3行列

4. アテンション機構：文脈理解の核心

4-1. アテンションの基本概念

① 役割

• 文章内の重要な関係性を捉える

• 単語間の関連度を計算

• 文脈に応じた特徴の調整

4-2. クエリ・キー・バリュー

① 各要素の役割

クエリ(Q)：注目したい情報
キー(K)：参照される情報
バリュー(V)：実際に使用される情報

② アテンションの計算

Attention(Q,K,V) = softmax(QK^T/√dₖ)V
・K^T：キー行列の転置
・dₖ：キーの次元数
・√dₖ：スケーリング係数

5. 特徴の変換：線形変換と活性化関数

5-1. 線形変換

① 基本式

y = xW + b
・x：入力特徴
・W：重み行列
・b：バイアス
・y：出力特徴

② 役割

• 特徴空間の変換

• 文脈に応じた特徴の調整

• 情報の圧縮と展開

5-2. 活性化関数

① ReLU関数

ReLU(x) = max(0,x)
・負の値を0に変換
・正の値はそのまま出力

② 役割

• 非線形性の導入

• 特徴の選択的活性化

• モデルの表現力向上

6. パラメータの最適化：学習の仕組み

6-1. 交差エントロピー損失

① 数式

Loss = -Σyᵢlog(pᵢ)
・yᵢ：正解ラベル（0または1）
・pᵢ：予測確率

② 特徴

• 予測の正確さを評価

• 学習の方向性を決定

• 最小化を目指す目標関数

6-2. 偏微分と連鎖律

• パラメータの更新方向の決定

• 勾配の計算

• 効率的な学習の実現

まとめ：トランスフォーマーの全体像

トランスフォーマーは、以下の要素が有機的に結合することで、人間のような自然な文章生成を実現しています：

1. ベクトルによる単語の特徴表現

2. アテンション機構による文脈理解

3. 線形変換と活性化関数による特徴の変換

4. ソフトマックス関数による確率計算

5. 交差エントロピー損失による学習の最適化

本書は、これらの要素を数学的な視点から分かりやすく解説し、AIの核心に迫る深い理解を提供してくれます。

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