単射（１対１の対応）

とある武将が「あの林の木の本数をすべて数えて参れ」と言った。家来たちが頑張って１本、２本、・・・と数えていったが、途中で数え間違えるので何回もやり直しになってしまう。何かよい方法はないだろうか。

さて、パズルでも数学でも１対１対応という考え方はとても有効です。定義を述べよう。集合Ａから集合Ｂへの写像ｆが１対１である、または単射（たんしゃ）であるとは、相異なるＡの２つの要素ｘ、ｙに対して、これらをｆで写したＢの２つの元ｆ（ｘ）、ｆ（ｙ）が相異なるときにいう。

要は、１対１対応とは違う者同士は対応先でも違う者同士となるような写像をいう訳です。

ＡからＢへこのような１対１対応が存在すれば、Ａの要素の個数（無限の場合でもよい）とｆで写したＢの要素の個数（無限の場合でもよい）は同数だけあると考えられます。

足し算をまだ習っていない小学１年生に「リンゴが３個、みかんが２個ありました。全部でいくつの果物がありますか。」というのを、算数セットの「おはじき」を取り出してきて、おはじき３個とおはじき２個を用意し、数えたらおはじきが５個あるから答えは５個だと答えるのも、その感覚・概念を小学生１年生に認識させようとする教育から来ていますね。そもそも１，２，３，・・・という「自然数」はそのような１対１対応する集合同士を同一視した世界の中で、出てきた概念ということになります。抽象化とはそういうことでした。

さて冒頭の問題では例えば次のような方法である。

家来たちは手分けして林の木すべてに１本ずつの縄を括り付けた。全部括り付けたら、その後縄をすべて回収して城に持ち帰り、縄の本数を数えた。これで、縄の本数と木の本数が一致するので、林の木の本数が何本であったか武将に報告することができたのでした。

うまく１対１対応を利用したことで、労力は減り、正確性も担保されたという例です。