準直既約

前回までで準直積（subdirect product）という直積（direct product）よりは弱い条件の直積のようなものを定義し、例をみてきた。

ところで位数が素数ｐの巡回群が準直積で表されるならば、各因子のうちどれかは自分自身と同型であることがわかる。

従って、準直積による分解表示でこれ以上意味のある分解を引き起こさないものがある。そこから準直既約（subdirectly irreducible）という概念を定義しよう。また、これを合同束の言葉で言い換えてみよう。

１．素数ｐの巡回群の全射準同型

ｐを素数としてアーベル群
　Ａ＝（ℤ／(modｐ)，＋）
を考えてみよう。

まずＡ上の任意の全射準同型は「自明なもの」しかないことを見よう。

即ち、φ：Ａ→Ｂがアーベル群の間の全射準同型とすると、
　φ＝０　または　φは同型
しかないことを確認しよう。

【証明】
Ａは位数ｐの巡回群で、その生成元は
　１／(modｐ)　　（ℤの(modｐ)による１の同値類）
である。ここでは、整数ｍ∈ℤについて、Ａの元を
　ｍ＝ｍ／(modｐ)
と略記する。ｍと書いたときにどちらの元かは文脈から判断されよう。

φ≠０とし、φが同型であることをみよう。

全射準同型φによる１の像を
　１↦ａ
とする。

ａ＝０なら、φ＝０となるからａ≠０である。

ここで、１≦ｍ＜ｐなる整数ｍで、
　ｍａ＝０　
となるものがあると仮定する。

整数ℤの中でｍとｐは互いに素だから、ある２つの整数ｘ、ｙが存在して
　ｍｘ＋ｐｙ＝１　（ℤにおいて）　（※注意１：Bézoutの等式）
となる。

ゆえに
　ｍｘ＝１　（Ａにおいて）
となる。従って、ｍの取り方から
　０＝ｍｘａ＝ａ　
を得るからａ≠０に反する。

従って、１≦ｍ＜ｐとなる任意の整数ｍで
　ｍａ≠０
である。

言い換えればａ≠０のとき
　ｍａ＝０　⇒　ｍ＝０
である。ゆえにφは単射であり、従って同型となる。■

【※注意１：Bézoutの等式】
２つの共に０ではない整数ａ，ｂが互いに素であるとは、ａ，ｂの最大公約数が１であるときにいう。

一般には次にようになる：
　２つの共に０ではない整数ａ，ｂの最大公約数がｄであるとき
　　ａｘ＋ｂｙ＝ｄ
　を満たす整数ｘ，ｙが存在する。

ここではこれを証明せず、一旦認めることにしよう。

２．準直既約の定義

Ａ上のどんな全射準同型も自明なものしかないということは、Ａが準直積であるとき、各成分への射影という全射準同型もまた、自明なものしかない。そして、それらがすべて０写像であれば、Ker(ｉ)＝∇であるから（Ａが１点から成る代数系でないときは）単射とならない。

ということは、ある成分への射影が同型となるものが存在する。

そうすると、準直積で同型となる成分があることは、その成分を除く他の全ての成分は非本質的な成分であるから、これらを省いてよい。さらにその上で、残った因子（自分自身と同型なもの）はこれ以上、準直積として「分解」されないことがわかる。分解が起こらないというものは概して「既約」と呼ばれるから次のように定義しよう。

【定義（準直既約）】
準直積Ｂが準直既約（subdirectly irreducible）であるとは、次が成り立つときにいう：
　Ｂを準直積として表す任意の代数系の族
　　{Ａ(γ)；γ∈Γ}
　について、あるγ∈Γが存在して全射準同型
　　π[γ]◦ｉ：Ｂ→Ａ(γ)
　が同型である。

３．合同束としての言い換え

この準直既約性を合同束として言い換えると次のようになる：

【定理】
次の２条件は互いに同値である：
（Ⅰ）Ｂは準直既約である。
（Ⅱ）Con(Ｂ)－{Δ}に最小限が存在する。

【証明】
（Ⅰ）⇒（Ⅱ）：
Ｂ上のΔ以外の合同関係全体の共通部分：
　Θ＝⋂θ
は、任意のθ∈Con(Ｂ)－{Δ}で
　Θ⊂θ
であるから、Con(Ｂ)－{Δ}に最小限がないとすると、
　Θ＝Δ
でなければならない。このときＢは族
　{Ｂ／θ；θ∈Con(Ｂ)－{Δ}}
の準直積であり、
　Ｂ≇Ｂ／θ　（任意のθ∈Con(Ｂ)－{Δ}）
であるからＢは準直既約ではない。

（Ⅱ）⇒（Ⅰ）：
　αをCon(Ｂ)－{Δ}の最小元とする。Ｂが代数系の族{Ａ(γ)；γ∈Γ}による準直積であるとする。冒頭の系によって
　⋂Ker(π[γ]◦ｉ)＝Δ⊊α　･･･（＊）
である。ここで
　任意のγ∈Γについて、Ker(π[γ]◦ｉ)⊋Δ
であるなら、αの定義から
　Ker(π[γ]◦ｉ)⊋α
であり、それらの共通部分を取れば
　⋂Ker(π[γ]◦ｉ)⊃α
で（＊）に反する。よって、　
　あるγ∈Γについて、Ker(π[γ]◦ｉ)＝Δ
となる。これはつまり、このγ∈Γについては全射準同型
　π[γ]◦ｉ：Ｂ→Ａ(γ)
が同型であることを意味する。従ってＢは準直既約である。■

４．準直積への分解

ものを分解するときはどこまで分解できるか、そして分解できたとしたらそれは一意的かということが気になってくる。「分解」で思い出すのが以前連載で書いた『分解する物語』というシリーズであるが、ここでは自然数の素因数分解の一意性をもとにして、
　「簡約条件をみたす可換な単位的半群」
での分解条件を考察していた。

分解する物語｜数学屋ノート｜note

今回の準直積への分解の話は一般には「無限個の」直積も許すから、上記の枠組みとは別の分解の話になる。従ってそのまま結果を適用できない。

そのため次回は準直積分解の分解可能性と一意性を調べよう。