効率的フロンティアの解析解

ここ数日、効率的フロンティアと接点ポートフォリオの解析解について考えていましたので、忘備的に投稿しておきます。

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効率的フロンティアを求める

問題

$${n}$$ 個の金融資産のリターン・リスクをそれぞれ $${\mu_i, \sigma_i (i=1,2,\cdots,n)}$$ と表す。また、資産 $${i,j}$$ の共分散を $${\sigma_{ij}}$$ と表す。このとき、効率的フロンティアを表す$${\mu, \sigma}$$ の関係式を求めよ。

ノーテーション

リターンのベクトルを

$$
{}^{\mathrm{T}}\pmb{\mu} := (\mu_1, \mu_2, \cdots, \mu_n) 
$$

で表す。また、分散共分散行列を $${\pmb{\Sigma}}$$ で表す。その成分は

$$
\begin{align*}
\{\pmb{\Sigma}\}_{ij} &= \sigma_{ij}  & (i \neq j) \\
\{\pmb{\Sigma}\}_{ii} &= \sigma_{ii} = {\sigma_i}^2  &  \\
\end{align*}
$$

である。

$${n}$$ 個の資産にそれぞれ $${\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n \quad (\sum_i \alpha_i = 1)}$$ の割合で投資した場合のリターンを

$$
\mu = \sum_{i=1}^n \alpha_i \mu_i
$$

と、リスクを

$$
\sigma^2 = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \alpha_i \alpha_j \sigma_{ij}
$$

と表す。投資割合についてはベクトルの形で

$$
{}^{\mathrm{T}} \pmb{\alpha} = (\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n)
$$

という記号も導入すると、

$$
\begin{align*}
\mu &= {}^{\mathrm{T}} \pmb{\alpha} \pmb{\mu} \\
\sigma^2 &= {}^{\mathrm{T}} \pmb{\alpha} \pmb{\Sigma} \pmb{\alpha} 
\end{align*}
$$

と表すことができる。
最後に便利のために、次の $${n}$$ 次元ベクトルを定義しておく：

$$
{}^{\mathrm{T}} \pmb{j} = (1, 1, \cdots, 1) \text{．}
$$

これを用いることで、例えば、投資割合の正規化条件は

$$
\begin{align*}
\sum_i \alpha_i = 1 \Leftrightarrow {}^{\mathrm{T}} \pmb{\alpha} \pmb{j} = 1
\end{align*}
$$

と表すことができる。

リターンを固定し、リスクの最小値を求める

効率的フロンティアを求めることは、リターン $${\mu}$$ を固定したときのリスク $${\sigma}$$ の最小値を求める問題に帰着できる。
ここでは次のように定式化しておく：

$$
\begin{align*}
\text{Minimumize} \quad && \frac{1}{2} {}^{\mathrm{T}} \pmb{\alpha} \pmb{\Sigma} \pmb{\alpha} & \left( = \frac{1}{2} \sigma^2 \right) \\
\text{Subject to} \quad && \mu &= {}^{\mathrm{T}} \pmb{\alpha} \pmb{\mu} \\
\quad && 1 &= {}^{\mathrm{T}} \pmb{\alpha} \pmb{j} \text{．}
\end{align*}  
$$

ラグランジュの未定乗数 $${\lambda_1, \lambda_2}$$ を導入し、ラグランジアンを

$$
L =
 \frac{1}{2} {}^{\mathrm{T}} \pmb{\alpha} \pmb{\Sigma} \pmb{\alpha}
+ \lambda_1 \left( \mu - {}^{\mathrm{T}} \pmb{\alpha} \pmb{\mu} \right)
+ \lambda_2 \left( 1 - {}^{\mathrm{T}} \pmb{\alpha} \pmb{j} \right)
$$

と定義すると、効率的フロンティアの候補は

$$
\begin{align*}
\frac{\partial L}{\partial \pmb{\alpha}} & = \pmb{0}  \\ 
\frac{\partial L}{\partial \lambda_1} & = 0 \\
\frac{\partial L}{\partial \lambda_2} & = 0
\end{align*}
$$

を満たす $${\mu, \sigma}$$ である。
$${\sigma = {}^{\mathrm{T}} \pmb{\alpha} \pmb{\Sigma} \pmb{\alpha}}$$ より第1式は

$$
\begin{align*}
& \pmb{\Sigma} \pmb{\alpha} - \lambda_1 \pmb{\mu} - \lambda \pmb{j}  = \pmb{0} \\
\Leftrightarrow &\pmb{\Sigma} \pmb{\alpha}  = \lambda_1 \pmb{\mu} + \lambda_2 \pmb{j}
\end{align*}
$$

と表せる。分散共分散行列 $${\pmb\Sigma}$$ が正則の場合だけを考えれば十分であるから、

$$
\pmb\alpha = \lambda_1 \pmb\Sigma^{-1} \pmb\mu + \lambda_2 \pmb\Sigma^{-1}\pmb{j}
$$

と表せる。両辺の転置を取ると

$$
{}^{\mathrm{T}} \pmb\alpha = \lambda_1 {}^{\mathrm{T}} \pmb\mu  \pmb\Sigma^{-1} + \lambda_2 {}^{\mathrm{T}} \pmb{j} \pmb\Sigma^{-1}
$$

となり、これを束縛条件の式に代入すると、それぞれ

$$
\begin{align*}
\mu &=\lambda_1 {}^{\mathrm{T}} \pmb\mu  \pmb\Sigma^{-1} \pmb\mu + \lambda_2 {}^{\mathrm{T}} \pmb{j} \pmb\Sigma^{-1} \pmb\mu \\
1 &= \lambda_1 {}^{\mathrm{T}} \pmb\mu  \pmb\Sigma^{-1} \pmb{j} + \lambda_2 {}^{\mathrm{T}} \pmb{j} \pmb\Sigma^{-1} \pmb{j}
\end{align*}
$$

と表せる。ここで便宜上、

$$
A:= {}^{\mathrm{T}} \pmb\mu  \pmb\Sigma^{-1} \pmb\mu, \quad
B:= {}^{\mathrm{T}} \pmb{j} \pmb\Sigma^{-1} \pmb\mu, \quad
C:= {}^{\mathrm{T}} \pmb{j} \pmb\Sigma^{-1} \pmb{j}
$$

と記号 $${A,B,C}$$ を定義しておくと、ラグランジュの未定乗数 $${\lambda_1, \lambda_2}$$ は次のように解ける：

$$
\lambda_1 = \frac{C \mu - B}{AC - B^2} , \quad
\lambda_2 = \frac{A - B \mu}{AC - B^2} \quad \text{．}
$$

一方、$${\pmb{\Sigma} \pmb{\alpha}  = \lambda_1 \pmb{\mu} + \lambda_2 \pmb{j}}$$ の両辺に左から $${{}^{\mathrm{T}} \pmb\alpha}$$ を乗ずると、

$$
\sigma^2  = \lambda_1 \mu + \lambda_2 
$$

となるから、$${\lambda_1, \lambda_2}$$ を消去して、

$$
\sigma^2 = \frac{C}{AC-B^2} \left( \mu - \frac{B}{C} \right) + \frac{1}{C}
$$

と効率的フロンティアを示す関係式が求まる。式の形から、効率的フロンティアは双曲線（の一部）となることが分かる。