【保存版】多項式補間の一つのラグランジュ補間について学んでみよう!
0 はじめに
私は、高校時代、数学が好きでした(数学III・Cまでやりました)が、大学は文系に進みました。
最近になり、約15年ぶりに数学を学び直し始めました。
間違いのないように、一つ一つ理解しながら進んでいるつもりではありますが、何か気になるところがありましたら、優しく教えていただくと嬉しいです。
一つ一つ丁寧に学んでいきたいと思っています。
1 多項式補間とは
まずはWikipediaからの引用です。
私は、「(N + 1)個の点があったとき、その点を通る、唯一のN次関数を見つけること」だと理解しました。
例えば、
2つの点があった時、その点を通る、唯一の1次関数を見つけたり、
3つの点があった時、その点を通る、唯一の2次関数を見つけるということです。
2 複数の点を通る関数は一つだけ?
では、仮に、下のように、3つの点を通る、2次関数について考えてみましょう。
フリーハンドですし、実際とは異なっていると思いますが、イメージとして、下のような唯一の2次関数ができます。
では、次に、2つの点を通る、1次関数を考えてみましょう。
こちらも、下のような唯一の1次関数が決まります。
では、2つの点を通る、2次関数はどうでしょう?
その場合、下のように、無数に存在します。
そのため、(N + 1) 個の点を通る、N次関数は一意に決まるということを押さえると良いと思いました。
3 (N + 1) 個の点を通る、N次関数は必ず存在する?
これは、後ほど、「ラグランジュ補間」の例で見てみましょう。
Nの数に関わりなく、求めることができることが確認できると思います。
4 ラグランジュ補間について
では、多項式補間の一つである、ラグランジュ補間の求め方について学んでみましょう。
1 前提について
まずは、下のような問題を考えてみましょう。
これは、下のように作ることができます。
実際に代入すると、このように、うまく求まることがわかります。
別の例でも試してみましょう。
やはり、同様に、求めることができました。
2 任意の2点を通る1次関数を求める
では、下のケースを考えてみましょう。
ラグランジュ補間を理解するために、まずは、Y座標を共に1として考えます。
ところで、第1節で、下のような1次関数を求める方法を学びました。
同様に、こちらも求められますね。(上から、0と1を逆にしています。)
これをくっつけると、下のようになります。
実は、これが(1, 1), (6, 1)を通る1次関数になっています。
なぜかも考えてみましょう。
下のように、どちらかが1になる時、もう一方が0となり、お互い無視することができるからです。
つまり、(1, 1), (6, 1)を通る1次関数は下のようになりました。
(整理すれば、綺麗になりますが、ここでは特に整理せず、このまま行きます。)
では、実際のY座標も含めて考えてみましょう。
下のように、x = 1の時、左側が1になったので、3にするには3倍すれば良いです。
x = 1の時、右側は0なので、考える必要がありません。
もう一方も同様です。
下のように、x = 6の時、右側が1になったので、2にするには2倍すれば良いです。
x = 6の時、左側は0なので、考える必要がありません。
これで、(1, 1), (6, 1)を通る1次関数を求めることができました。
3 個数を増やすとどうなるか
例えば、点を一つ増やし、2次関数を求めてみます。
結果は、下のようになります。
このように、個数を増やしたとしても、同様のやり方で求めることができることがわかりました。
今回は以上です。
サポートをしていただけたらすごく嬉しいです😄 いただけたサポートを励みに、これからもコツコツ頑張っていきます😊