続：微分方程式の話

連続時間ラムゼイモデルを考え、ただしu(c)=c, f(k)=k^{1/2}とする。このとき、価値関数がＨＪＢ方程式を満たさないことを示せ、というのが、考えていたことだったのだが。

http://stairlimit.html.xdomain.jp/HJeq5.pdf

はい、ごらんの結果になります。うー、きつかった。

そんで、実はこれをu(c)=cからu(c)=c+c^{1/2}に変えたバージョンを考えていたんだけど……頭がパーンしてしまった。むずい。f(k)=kに変えれば前回のようにρ=1の特殊ケースでは解けるのだけど、f(k)=k^{1/2}……むずい。むずすぎる。とりあえずρ=2のとき、、もし価値関数がHJB方程式の解ならば、元問題の解は必ずk(t)が1/16に漸近する軌道を持つことだけは証明できたのだが……ここが限界ではなかろうか、とか思ってたり。ちょっと微分方程式が難しすぎる。

問題ははっきりしていて、f(y'(x))=y(x)というかなり厳しい形の非線形微分方程式があったときに、f(z)<g(z)だったら、g(y'(x))=y(x)という微分方程式との間にどんな関係を持つかがそもそもわからないこと。

そう、ここがまずわからないんだ……わからないから極限評価が全部弾かれてお手上げになる。つらい。

というわけで、中間報告でした。