【続・サイコロ】もしもすべての目が素数だったら

先週、サイコロの目を素数の「2」「3」「5」「7」「11」「13」にした「素数サイコロ」について書きました。

今回はその続きです。2問用意したので、良かったら考えてみてください。

③2回サイコロを振ったとき、出た目が双子素数になっている確率は？

④2回サイコロを振り、出た目の数字を使って新しい数を作る。

方法は、1回目で出た数字の後ろに2回目で出た数字をくっつけます。

例えば、

1回目に2、2回目に5が出た場合は「25」、1回目に11、2回目に13が出た場合は「1113」という数字になります。

このとき、作られる数が素数になる確率は？

以上の2問です。正解は以下に書きます。

【注意】

前回触れていませんでしたが、念の為補足。サイコロのすべての目は同じ確率で出るものとします。このことを数学では「同様に確からしい」といいます。サイコロの問題は、基本的に「同様に確からしい」でしょう。

③2回サイコロを振ったとき、出た目が双子素数になっている確率は？

こちらはそんなに難しくありません。

そもそも双子素数とは、差が2の素数のペアのことでしたね。つまり、

(3, 5)
(5, 7)
(11, 13)

のことです。サイコロの降る順番を考慮すると、全部で6通り。

2回振ったときのサイコロの出方は、出た目の順番を区別すると6×6=36通りです。

よって確率は

6/36 = 1/6

となります。それぞれの目の出る確率と一緒であることがわかりました。

④2回サイコロを振って作られる数が素数になっている確率は？

素数を求めるシンプルな公式はないので、一つ一つ地道にケースを探していきます。

(超複雑な式があるのですが、実用的ではありません)

以下のように場合分けをします。

A. 1回目に出た目が2のとき

2回目に振ったときに素数になるケースは以下の通りです。

23
211

よって2通り。

B. 1回目に出た目が3のとき

2回目に振ったときに素数になるケースは以下の通りです。

37
311
313

よって3通り。

C. 1回目に出た目が5のとき

2回目に振ったときに素数になるケースは、

53

の1通りとなります。ちなみに、57はグロタンディーク素数と呼ばれていますが、素数ではありません笑。

D. 1回目に出た目が7のとき

2回目に振ったときに素数になるケースは、

73

の1通りとなります。

E. 1回目に出た目が11のとき

2回目に振ったときに素数になるケースは、

113

の1通りとなります。

F. 1回目に出た目が13のとき

2回目に振ったときに素数になるケースは、

137

の1通りとなります。

以上のA〜Fにより、素数になるケースは

2+3+1+1+1+1=9通り

よって確率は、

9/36 = 1/4

となります。双子素数になる確率よりも高いんですね。

皆さん、解けましたか？

ちなみに、2回振って作られる数がエマープ(素数でかつ、数字をひっくり返しても素数になる数のこと)になる数は以下の5通りです。

37
311
313
73
113

いかがでしたか？

前回と今回で、素数サイコロに関する問題を作ってみました。サイコロの目を他の数にした場合も同様に問題が作れるので、興味がある方は自分で作問に挑戦してみましょう！

最後に、もう一度だけ呟いておきます。

素数サイコロ、商品化されないかな…？笑

素数はいつも、あなたのそばに。
Let's enjoy SOSU !

最後まで読んでいただき、ありがとうございました。