【階乗×素数】素数階乗素数を知ろう

昨日、階乗素数について書きました。

今回は、階乗素数の上にさらに「素数」がついた「素数階乗素数」について書きます。

なんで「素数」「階乗」「素数」なんだ…？

と思うかもしれませんが、正確な分け方は「素数階乗」「素数」。つまり、素数階乗を用いた素数なのです。

そこでまずは「素数階乗」について紹介しましょう。

pを2以上の整数としたとき、pの「素数階乗」は

p#

と表します。「#」は「ナンバー」という記号です。♯(シャープ)とは少し違いますね。

話を戻して、これから意味を説明していきます。

pの素数階乗とは

p以下のすべての素数のかけ算のこと
(ただしpは2以上の整数)

具体例を挙げます。

4の素数階乗は何かというと、4以下で素数になる数は2, 3があるため、

4# = 3×2 = 6

です。5の素数階乗は、5以下の素数が「2, 3, 5」なので、

5# = 5×3×2 = 30

となります。最初の方の素数階乗を列挙しておきます。具体例を通して理解してみてください。

2# = 2
3# = 3×2 = 6
4# = 3×2 = 6
5# = 5×3×2 = 30
6# = 5×3×2 = 30
7# = 7×5×3×2 = 210
8# = 7×5×3×2 = 210
9# = 7×5×3×2 = 210
10# = 7×5×3×2 = 210
11# = 11×7×5×3×2 = 2310

普通の「階乗」と違って、違う数の素数階乗同士が同じ数になることがあります。素数が飛び飛びで存在しているためです。

さて、ここまで素数階乗について説明したので、ここからは本題の「素数階乗素数」について説明していきます。階乗素数と形は似ていますね。

素数階乗素数とは

p# ± 1

と表される素数のこと
(ただしpは2以上の整数)

こちらも±の両方があるので、一つずつ具体例を見ていきます。尚、それぞれの数には特有の名前もあるので、そちらも合わせてご紹介します。

p# + 1

素数に限らず、この形の数のことをユークリッド数(Euclid number)と言います。素数が無数に存在することの証明に使用したことから、このような名前になっているそうです。

具体例はこちら。

3 = 2# + 1 = 2 + 1
7 = 3# + 1 = 6 + 1
31 = 5# + 1 = 30 + 1
211 = 7# + 1 = 210 + 1
2311 = 11# + 1 = 2310 + 1

p# − 1

素数に限らず、この形の数のことをクンマー数(Kummer number)と言います。クンマーがユークリッドの定理(素数が無数に存在することを「ユークリッドの定理」と呼ぶらしい)を証明するのに用いたという由来があるそうです。第二ユークリッド数とも呼ばれています。

具体例はこちら。

5 = 3# − 1 = 6 − 1
29 = 5# − 1 = 30 − 1
2309 = 11# − 1 = 2310 − 1
30029 = 13# − 1 = 30030 − 1

階乗素数と同様、小さい素数階乗素数はそんなに多くありません。これで素数が作れるというのが面白いなと思いますね。

ちなみに、素数階乗素数が無数にあるのかはわかっていません。

いかがでしたか？

「素数階乗素数」について普段考える方は少ないと思います。せめて、小さい数だけでも覚えて帰ってください。

【p# + 1型】

3 = 2# + 1 = 2 + 1
7 = 3# + 1 = 6 + 1
31 = 5# + 1 = 30 + 1
211 = 7# + 1 = 210 + 1
2311 = 11# + 1 = 2310 + 1

【p# − 1型】

5 = 3# − 1 = 6 − 1
29 = 5# − 1 = 30 − 1
2309 = 11# − 1 = 2310 − 1

3, 5, 7は、「階乗素数」でありかつ「素数階乗素数」でもあるんですね。一桁の素数には、たくさんの「〇〇素数」という名前があるようです。

階乗素数については、こちらの記事で解説しています↓↓↓

階乗素数を知ろう

この記事を通して、「階乗」と「素数」について興味を持ってくださる方が増えてくれたら嬉しいです。

素数はいつも、あなたのそばに。
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最後まで読んでいただき、ありがとうございました。