120という化け物

2021年1月20日 16:47

今日は1月20日。緊急事態宣言に伴い、首都圏の各鉄道会社は、本日から列車の終電時刻の繰り上げを始めています。夜遅く帰宅する方はご注意ください。

さて、1月20日なので120という数字に触れておきます。いや、触れておかないわけにはいきません！

色々な性質を併せ持つ化け物のような数なので、主な性質をざっと紹介します。

これをきっかけに、数字に興味を持ってくださる方が増えたら幸いです。

★三角数

次のように、1から15までの和で表すことができます。

120 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15

このような数を三角数といいます。三角数については、こちらの記事で詳しく解説しています。

以下のように、1から5までの積で表すことができます。高校数学でも登場しますが、「！」を用いて「5の階乗」といい、このような数を「階乗数」ということがあります。

120 = 5！= 1×2×3×4×5

また、

120 = 4×5×6

とも表せますね。ちなみに、階乗に素数を混ぜた素数階乗については、以下の記事で詳しく解説しています。

120のすべての約数は以下の通り。

1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120

これらをすべて足すと、

1+2+3+4+5+6+8+10+12+15+20+24+30+40+60+120=360

となり、360=3×120となります。このような数を「3倍完全数」といいます。

120は、最小の3倍完全数です。次の3倍完全数は672です。そんなに難しくないので、手計算で確かめてみましょう。

また、2倍完全数のことを単に「完全数」と言います。完全数については、以下の記事もご覧ください。

上記で三角数が登場しましたが、三角数を1から小さい順に足した数のことを「三角錐数」といいます。

120は以下のように表せるので三角錐数です。

120 = 1+3+6+10+15+21+28+36

3=1+2
6=1+2+3
10=1+2+3+4
15=1+2+3+4+5
21=1+2+3+4+5+6
28=1+2+3+4+5+6+7
36=1+2+3+4+5+6+7+8
が成り立ち、すべて三角数となっているからです。

以下のように、120は双子素数の和で書くことができます。

120 = 59+61

また、以下のようにも表せるので、連続した素数の和となっています。

120 = 23+29+31+37

こういう性質は面白いですね。そして、美しい。

改めて、素数は素数です。いや、間違えました、素数は素敵です。

いかがでしたか？これ以外にも様々な性質があるので、興味がある方は調べてみてください！

素数はいつも、あなたのそばに。
Let's enjoy SOSU !

最後まで読んでいただき、ありがとうございました。