【階乗】「二重階乗素数」もある~Double Factorial Prime~
以前、「階乗素数」という素数を紹介しました。階乗を使った式で表されていますね。
さらに、「素数階乗素数」も紹介しました。こちらは、「素数階乗」という特別な階乗を使っています。
今回は、さらにマニアックな「二重階乗素数」を紹介します。その前に、まずは「二重階乗」を説明しましょう。
二重階乗
階乗は、「!」を一つ使って以下のように定義されましたね。
n! = n×(n-1)×…×2×1
二重階乗は「二重」という名の通り「n!!」を使います。
定義を説明する前に、具体例。
5!! = 5×3×1 = 15
8!! = 8×6×4×2 = 384
そう、数字を一つ飛ばしでかけているのです。同じ数を2回かけるわけではないのでご注意ください。
「一つ飛ばしで数字をかけざんする」。これが理解できれば大丈夫です。
さあ、二重階乗を紹介したところで、二重階乗素数を説明していきます!
二重階乗素数
トップ画にもありますが、二重階乗素数は以下のように表せる素数のことをいいます。
階乗素数や素数階乗素数と同じように、「階乗」に±1をしたものになっています。同じ形なのでわかりやすいですね。
具体例を挙げます。
★「n!!-1」型の素数
2 = 3!! -1 = 3×1-1
7 = 4!! -1 = 4×2-1
47 = 6!! -1 = 6×4×2-1
383 = 8!! -1 = 8×6×4×2-1
10321919 = 16!! -1 = 16×14×12×10×8×6×4×2-1
51011754393599 = 26!! -1 = 26×24×22×20×18×16×14×12×10×8×6×4×2-1
1130138339199322632554990773529330319359999999 = 64!! -1
= 64×62×60×…×6×4×2-1
★「n!!+1」型の素数
2 = 1!! + 1 = 0!! + 1 = 1+1
3 = 2!! + 1 = 2+1
当然のことながら、nが大きくなると桁数はグンと増えます。
大きい数ほど、下の方の桁が「999…」となっていますね。偶数の二重階乗は10の倍数もかけざんしているので、下の方の数字が「000…」となるためですね。「-1」をするので、二重階乗素数は「999…」となりやすいようです。
「n!!+1」の方は、小さい素数がほとんどありません。3の次になると、
518!! + 1
635桁ほどの大きな数になります。
今のところ、見つかっている二重階乗素数で最大のものは
145706!! - 1
で、桁数は344538だそうです。やばいな…笑。
詳しいことは、以下の英語のサイトをご覧ください。
いかがでしたか?
普段から二重階乗素数を意識することはないかと思いますが、「そういう素数もあるんだな~」程度で頭の隅に置いといていただければと思います。
383 = 8!! -1 = 8×6×4×2-1
が二重階乗素数でしたが、383は回文素数でもありますね。
個人的には回文素数は好きなので、覚えておこうと思います笑。
最後までご覧いただき、ありがとうございました。
この記事が気に入ったらサポートをしてみませんか?