【素数生成】101から+2, +4, +6,... と足していくとどうなるのか？

今日は4月11日。2022年の101日目です。

皆さんは、オイラー素数を知っていますか？

知らない方は以下のリンクをご覧ください。「その時ー」風に書いております笑。

41から「+2」,「+4」, 「+6」, … , 「+78」と順番に足していくと、すべて素数になっています。この時に生成される素数を「オイラー素数」といいましたね。

41
43 (+2)
47 (+4)
53 (+6)
:
1523 (+76)
1601 (+78)

↑ すべて素数！

ほとんどの方は、「へぇ～そういう素数があるのか」と終わると思いますが、筆者はこんなことを考えました。

41から始まるの、微妙じゃね？
それならキリが良い3桁の101から始めれば良いじゃん。

by SOSU Lover

ということで、オイラーの素数生成多項式を以下に変形して、どれくらい素数が作れるのかを考えていこうと思います。

f(n) = n^2 + n + 101

「多項式に代入」ではなく、「+2」「+4」「+6」…をして素数かどうか確かめてみると、

101
103 (+2)
107 (+4)
113 (+6)
121 (+8)

あ、121は素数じゃない…。121=11×11ですからね。詰み…。

これじゃああまりにもつまらないので、

それ以降だとどれくらい素数が現れるかを確かめてみましょう。

101, 103, 107, 113, 121, 131, 143, 157, 173 , 191, 211, 233, 257, 283, 311, 341, 373, 407, 443, 481, 521, 563, 607, 653, 701, 751, …

太字が素数です。一部素数ではありませんが、大半が素数であることがわかりますね。

しかも、素数ではない数の素因数分解はどうなっているかというと、

121=11×11
143=11×13
341=11×31
407=11×37
481=13×37

すべて半素数になっています。つまり、素因数分解は結構難しい…。

この先も計算していったのですが、

f(n) = n^2 + n + 101

から生成される数は、素数または半素数になる可能性が極めて高かったです。

また、先程紹介した【補足】のリンクでも少し触れていますが、

オイラー素数じゃなくなった後も、素数または半素数である可能性が高いんですよね。

これ、どうしてなんでしょう…？

ちなみに、41や101だけでなく、11や71から「+2」「+4」「+6」…していっても素数か半素数が多く作られるようです。

一つの観察ポイントとしては、下一桁ですね。

101からの素数生成で得られた数をもう一度載せます。

101, 103, 107, 113, 121, 131, 143, 157, 173 , 191, 211, 233, 257, 283, 311, 341, 373, 407, 443, 481, 521, 563, 607, 653, 701, 751, …

下一桁だけを並べると、

1, 3, 7, 3, 1, 1, 3, 7, 3, 1, 1, 3, 7, 3, 1, 1, 3, 7, 3, 1, 1, 3, 7, 3, 1, 1

1, 3, 7, 3, 1という並びが続いています。実は、オイラー素数に登場する素数には、下一桁が「9」の数が全く登場していないのです。

それが直接素数の個数に影響しているかわかりませんが、数字を眺めてみると気がつくことなので紹介しました。

結論としては、101から素数生成するとすぐに素数でない数が登場してしまうわけですが、素数または半素数である確率はかなり高いということがわかりました。

興味のある方は、他の数からスタートして「+2」「+4」「+6」…をして素数か確かめてみると面白いかもしれませんよ。

既存のオイラー素数とは少し違う視点から、素数について考えてみました。これからも、こういう自由な発想を続けていきたいと思います。

素数はいつも、あなたのそばに。
Let's enjoy SOSU !

最後まで読んでいただき、ありがとうございました。