【自明？】筆算『BAA+BA=ABB』について

昨日、Twitterで以下のような問題を見かけました。

子供が学校から持って帰ってきた小学5年生の算数の問題なんだけど結構難しくて驚いた pic.twitter.com/UMFJ5uhRN7

— 素数を数えて落ち着くんだ… (@koujounodenki) May 25, 2021

AとBの2文字だけによる虫食い算ですね。パッと見、難しそうに見えます。

ただ、僕はすぐに答えを出すことに成功。回答はこうです。

10の位で「A+B=B」となっている時点で、Aには9しか入らないことがわかる。
あと、筆算的にB+1=Aが成り立つから、B=8と答えが出せそうだね。

8️⃣9️⃣9️⃣
➕8️⃣9️⃣
9️⃣8️⃣8️⃣ https://t.co/era0hLLUT1

— SOSU Lover (Number Mania) (@sosu_lover) May 26, 2021

論理が結構飛躍しているかもしれないですね…😅。

参考書に「自明」と書かれているとムカムカしてしまう人間なので、この問題についての僕の考えを書いておこうと思います。

(厳密に解こうとすると面倒ですね…)

10の位が「A+B=B」 → A=9

経験則から、すぐにこのような考えに至りました。

「9」にある数を足すと、1の位はある数よりも1だけ小さくなりますね。

9+3=12
9+5=14
9+9=18

のように。そして、下の位による繰り上がりがあると、「+9」をすることで元の数のままになるのです。

10の位に着目すると、

96+36=132
97+57=154
98+98=196

たしかに元の数のままですね。これを知っていれば、10の位が『A+B=B』になっているときに「A=9」とすぐに思いつくのです。

いやいや、

「A=0かもしれないじゃないか」と言うかもしれません。しかし今回の筆算、答えの先頭がAになっているため、A=0はありえません。となると、A=9しかあり得ないのです。

Aが0や9以外の数の場合は、どう頑張っても「A+B=B」にはなりません。実際に手計算をしてみると、より理解できるかと思います。

筆算的に「B+1=A」が成り立つ

こっちもおそらく飛躍しすぎているので、丁寧に書いていきます。

足している数であるBAは2桁の数で、100より小さい数です。

100以下の数を足したとき、100の位の数は変わらないか、1だけ増えますね。

(念の為、具体例です)

3️⃣4️⃣9️⃣
➕3️⃣4️⃣
➖➖➖
3️⃣8️⃣3️⃣

(100の位は3のまま)

または

4️⃣6️⃣9️⃣
➕4️⃣6️⃣
➖➖➖
5️⃣1️⃣5️⃣

(100の位は4から5に増えた)

今、A=9がわかっているので、

*️⃣9️⃣9️⃣
➕*️⃣9️⃣
➖➖➖
9️⃣*️⃣*️⃣

となっています。このとき、Bは8か9になるわけですが、B=9はありえません。

B=9にすると、999+99=1098になって形が崩れてしまいます。また、そもそも答えの1の位は絶対に偶数になるはずなのです。

なぜなら、同じ数を2つ足したら必ず偶数になるからです。

0+0=0
1+1=2
2+2=4
3+3=6
4+4=8
5+5=10
6+6=12
7+7=14
8+8=16
9+9=18

ということを考えると、BがAと同じの9になることは不可能で、よって「B+1=A」が成り立つのです。

(てか、A+A=18からB=8とすぐ答えを出せますね…笑)

という感じの内容が、頭に浮かびました。Twitterは140文字の世界なので、あまり詳しく書けません。ということでnoteを使って内容を整理してみました。

それにしても、この問題はなかなか良い問題ですね。

『899+89=988』

という、ある意味特殊な数字の組み合わせによる虫食い算。繰り上がり込みによる「+9」の計算結果が特徴的であることは、知っておいていいかもしれませんね。

(あ、89は素数！)

(あ、899は29×31だから惜しい…！)

こういう問題は面白いので、自分でも作ってみたいなと思いました！良い問題ができたら、このnoteで投稿してみようと思います。興味がありましたら、ぜひ解いていただけると嬉しいです笑。

素数はいつも、あなたのそばに。
Let's enjoy SOSU !

最後まで読んでいただき、ありがとうございました。