【階乗×素数】階乗素数を知ろう

世の中には、様々な素数があります。「〇〇素数」と呼ばれるものはたくさんあり、筆者自身、いくつあるかは把握できていません。

今回は、高校数学で習う「階乗」を用いた「階乗素数」について紹介します。

階乗とは、ビックリマーク「！」を使って以下のように定義されています。

n! = n × (n-1) × ... × 1

1! = 1
2! = 2×1 = 2
3! = 3×2×1 = 6
4! = 4×3×2×1 = 24
5! = 5×4×3×2×1 = 120
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と続いていきます。階乗素数はこの「階乗」を用いて作られる素数です。

階乗素数とは

n! ± 1

と表される素数のこと
(ただしnは0以上の整数)

要するに、階乗との差が1になるような素数のことですね。

具体例を挙げますが、小さい数はそんなに多くありません。なぜなら、階乗というのはどんどん大きくなってしまうからです。

まずは「+」の方から。

【n! + 1型】

2 = 1! + 1 = 0! + 1
3 = 2! + 1
7 = 3! + 1
39916801 = 11! + 1
10888869450418352160768000001 = 27! + 1

7の次は3991万ですから、一気に大きくなっていますね…😅。

次に、「−」の方。

【n! − 1型】

5 = 3! − 1
23 = 4! − 1
719 = 6! − 1
5039 = 7! − 1
479001599 = 12! − 1
87178291199 = 14! − 1

こちらの方が、まだ緩やかに増えていますね。とはいえ、小さい数が少ないことには変わりありません。

現時点で、「n! + 1」と「n! − 1」がどちらも素数になるケースは、「n = 3」以外見つかっていません。

つまり、階乗の値を間に挟むような双子素数は(5, 7)しか見つかっていないのです。

5 < 6=3! < 7

計算が大変なので、簡単には見つかりません。これ以上存在するかどうかは気になるところです。

いかがでしたか？

「階乗素数」について普段考える方は少ないと思います。せめて、小さい数だけでも覚えて帰ってください。

【n! + 1型】

2 = 1! + 1 = 0! + 1
3 = 2! + 1
7 = 3! + 1

【n! − 1型】

5 = 3! − 1
23 = 4! − 1
719 = 6! − 1
5039 = 7! − 1

よく見ると、一桁の数はみんな階乗素数なんですね笑。23歳の方は、最後の階乗素数歳なので貴重ですよ(?)。

実は、階乗素数の他にもう一つ、「素数階乗素数」というものもあります。なかなか謎な名前ですが、この数についても次回紹介します。お楽しみに！

素数階乗素数を知ろう

素数はいつも、あなたのそばに。
Let's enjoy SOSU !

最後まで読んでいただき、ありがとうございました。