フェルマー素数は今のところSOSU個！

今日は、2月17日(月)ですね。

217=7×31

と素因数分解できるので、素数ではありません。

ところで、2と17の数字を見て、

あ！あの素数のことを紹介していなかった…！

ということに気づき、今回投稿することにしました。

それは、

フェルマー素数

です。

どんな素数かというと、

2^(2^n) + 1

の形で表される素数

です。

(^nは「n乗」という意味)

上の式じゃわかりにくいので、タイトル画像を参照してください。

尚、上記の形の数を一般に「フェルマー数」といいます。さらに素数だと、「フェルマー素数」と呼ばれるのです。

★フェルマー素数の具体例

・n = 0

→2^(2^0) + 1
= 2^1 + 1
= 3

・n = 1

→2^(2^1) + 1
= 2^2 + 1
= 5

・n = 2

→2^(2^2) + 1
= 2^4 + 1
= 17

・n = 3

→2^(2^3) + 1
= 2^8 + 1
= 257

・n = 4

→2^(2^4) + 1
= 2^16+ 1
= 65537

具体例は、これが全てです…！？

実は、それ以降のフェルマー素数はまだ見つかっていません。

というか、存在するかどうかもわかりません。

フェルマーという数学者は、

2^(2^n) + 1

の形で表せる数は全てSOSU(素数)である！

という予想を立てました。

しかし、

オイラーという数学者が反例を見つけました。

nを大きくするごとに、フェルマー数はどんどん大きくなっていきますよね。

n=5のとき、

・n = 5

→2^(2^5) + 1
= 2^32+ 1
= 4294967297

となりますが(42億…)、次のように素因数分解できてしまうことをオイラーが発見しました。

4294967297 = 641 × 6700417

よく見つけたなーと…！
(上から目線ですみません)

それ以降のフェルマー数も、今のところ素数にはなっていないようです。

つまり、

65537より大きいフェルマー素数は見つかっていません。

フェルマー素数はまだ存在するのか…？

未解決問題なのです(未解決事件みたいですね笑)。

ちなみに、詳しい証明は知りませんが、

nがフェルマー素数ならば、

定規とコンパスのみを使って正n角形を作図できる

という事実も知られています。

(ただし、定規は直線を引くためだけに使える。)

まあ、

正65537角形を作図しよう！

と思う人はあまりいないと思いますが…笑。



いかがでしたか？

色々と内容がてんこ盛りだったと思うので、以下にまとめます。

・フェルマー素数とは、

2^(2^n) + 1

の形で表される素数のこと

・65537より大きいフェルマー素数は、今のところ見つかっていない

・nがフェルマー素数なら、定規とコンパスを使って正n角形を作図できる

身近な数だと…と書こうとしましたが、(今のところ)5つしかないので全て覚えましょう！

3
5
17
257
65537

身近で上記の数字を見かけたら、ぜひ「フェルマー素数」のことを思い出してみてください。

素数はいつも、あなたのそばに。

Let's enjoy SOSU!

最後まで読んでいただき、ありがとうございました。