EMAの平滑化係数に関する考察
移動平均線（MA: Moving Average）はインジケータの中で最も広く用いられるものである．昔ながらの単純移動平均線（SMA: Simple Moving Average）も用いられるが，最近は指数平滑移動平均線（EMA: Exponential Moving Average）が主流になっている．
EMAについて勉強し始めると，間もなくEMAには平滑化係数（smoothing factor）$${\alpha \in (0,1)}$$というフリーパラメータが存在するが，金融の世界では，ある特定の選び方（$${n}$$をローソク足の数として$${\alpha=\frac{2}{n+1}}$$）が流布していることが分かる．
しかし，なぜその選び方が業界スタンダードになっているのか調べても分からなかったので，自分で考えることにした．自分としては一応の落とし所を見つけることができたので，ここに記録しておく．識者からコメントなど頂けたら幸いである．
指数平滑化（exponential smoothing）とは
いま，$${t+1}$$個のデータ$${\{x_0,x_1,\cdots, x_{t-1}, x_t\}\; (t \in {\mathbb N})}$$があるとする．例えば，$${t}$$が今日の日付で，今日も入れて$${t+1}$$日分の過去の為替レート（または株価など）が分かっていると考えればよい．
まず，期間$${n}$$のSMAの今日の値は次のように定義される．
$$
\begin{align*}{}
u_t := \frac{x_{t}+x_{t-1}+ \cdots +x_{t-(n-1)}}{n}.
\end{align*}
$$
つまり，$${n}$$個のデータの算術平均である．それに対して，EMAは次のように定義される．
$$
\begin{align*}{}
s_0 & = x_0,\\
s_t &= \alpha x_{t} +(1-\alpha) s_{t-1} \;\;\; (t \geq 1).\\
\end{align*}
$$
ここで，$${\alpha \in (0,1)}$$が平滑化係数である．つまり，$${s_t}$$は今日のレート$${x_t}$$と昨日のEMAの値$${s_{t-1}}$$の加重平均である．極端な場合を考える．$${\alpha \to 1-0}$$の極限ではまったく平滑化（smoothing）はされず（$${s_t=x_t}$$），$${\alpha \to +0}$$の極限では平滑化され過ぎて，すべての$${s_t}$$がデータの初期値に等しくなってしまう（$${s_t=s_{t-1}=\cdots=s_0=x_0}$$）．
上の式を繰り返し用いると，$${s_t}$$が全データ$${\{x_0,x_1,\cdots, x_{t-1}, x_t\}}$$の線形結合で表されることが分かる．
$$
\begin{align*}{}
s_t = \alpha [x_{t} +(1-\alpha) x_{t-1} +(1-\alpha)^2 x_{t-2} + \cdots + (1-\alpha)^{t-1} x_{1} ] + (1-\alpha)^t x_0.\\
\end{align*}
$$
この式から，なぜ「指数」平滑と呼ばれるかも分かる．右辺を見ると過去に遡るほどデータに$${(1-\alpha),(1-\alpha)^2,\cdots,(1-\alpha)^t}$$という重みが掛けられており，過去の値からの影響が指数関数的に軽減されているからである．
さて，$${s_t}$$が$${\{x_0,x_1,\cdots, x_{t-1}, x_t\}}$$の重み付き「平均」となっているためには，係数の総和が1になっていなければならない．ここで，等比級数の和の公式$${S_n = \sum_{k=0}^n r^n = \frac{1-r^{n+1}}{1-r} \; (r \neq 1)}$$を用いると，上式の係数の総和は
$$
\begin{align*}{}
&\alpha [1 +(1-\alpha) +(1-\alpha)^2 + \cdots + (1-\alpha)^{t-1} ] + (1-\alpha)^t
\\
&= \alpha \frac{1-(1-\alpha)^t}{1-(1-\alpha)} + (1-\alpha)^t
=
1
\end{align*}
$$
と，$${\alpha, t}$$に依らず1になっていることが分かる．
業界スタンダードにはどんな意味があるのか
ここで，「業界スタンダード」$${\alpha=\frac{2}{n+1}}$$には，どのような意味があるのか深読みしてみよう．$${s_t}$$を$${x_0,x_1,\cdots}$$で表した式で第$${n}$$項までを残すと次のようになる．
$$
\begin{align*}{}
s_t \simeq \alpha [x_{t} +(1-\alpha) x_{t-1} +(1-\alpha)^2 x_{t-2} + \cdots + (1-\alpha)^{n-1} x_{t-(n-1)} ]
\end{align*}
$$
このとき，右辺が本来の$${s_t}$$のうちどの程度の割合を正しく近似できているかは，各項の係数の和として計算できるはずである：
$$
\begin{align*}{}
W_n:=
\alpha [1 +(1-\alpha) +(1-\alpha)^2 + \cdots + (1-\alpha)^{n-1}]
%=
%\alpha \frac{1-(1-\alpha)^{n}}{1-(1-\alpha)}
=
1-(1-\alpha)^{n}.
\end{align*}
$$
この式に$${\alpha=\frac{2}{n+1}}$$を代入して，$${n \to \infty}$$の極限をとってみる：
$$
\begin{align*}{}
W_n
=
1-\left(1-\frac{2}{n+1}\right)^{n}
=
1-\left(1-\frac{2}{n+1}\right)^{\frac{n+2}{2} \cdot \frac{2n}{n+2}}
\to
1-\frac{1}{e^2}
\;
(n \to \infty).
\end{align*}
$$
ここで，ネイピア数$${e}$$の定義から$${\lim_{y \to 0}(1-y)^{1/y}=1/e}$$であることを用いている．また，最後の極限値の近似値は$${1-\frac{1}{e^2} \simeq 0.864\cdots}$$である．
上の結果から言えることは，「$${\alpha=\frac{2}{n+1}}$$とすれば，（$${n}$$が十分大きければ）第$${n}$$項までで全データの約86%を取り入れていることになる」ということである．
素朴な疑問
完全には納得いかないが，議論の大筋はあっている気がする．
では，なぜ86%なのであろうか．$${1-\frac{1}{e^3} \simeq 0.95}$$（つまり95%）や$${1-\frac{1}{e^4} \simeq 0.98}$$（つまり98%）では駄目なのだろうか．一般に，平滑化係数を$${\alpha=\frac{m}{n+m-1}\;(m \in {\mathbb N})}$$とすれば，上の極限は$${1-\frac{1}{e^m}}$$となるから，いくらでも調整可能である．多分，そこら辺は経験的なものから86%が妥当と考えられるようになったのだろう．
EMAって何？という人には以下の動画が役立つだろう．