破産確率（1）：一般的な確率漸化式とペイオフレシオが1の場合の解
破産確率とは
破産確率（risk of ruin）とは，トレーダー（ギャンブラー）がある一定の条件でトレード（賭け）を繰り返し続けたときに破産する（=資産がゼロ以下になる）確率を求める数学的問題である．
【問題】$${N \; (>0)}$$円の資産を持っているトレーダーが，1回のトレードで勝つ確率が$${p \; \in (0,1)}$$のトレードを，資産が0円以下になる（=破産する）か，$${M \; (>N)}$$円になるまで繰り返す．このとき，破産する確率を求めよ．ただし，1回のトレードで，勝ったときは$${A \; (>0)}$$円を得て，負けたときは$${B \; (>0)}$$円を失うとする．
一般的な確率漸化式
トレーダーのある時点における資産が$${N}$$円であり，そこからトレードを続けていき，いずれ破産してしまう確率を$${Q(N)}$$としよう．このトレーダーが破産するのは，（この時点から数えて）1回目のトレードで勝ってから破産する場合と，1回目のトレードで負けてから破産する場合の二通りがあって，二つの事象は互いに排反である．したがって次式が成り立つ．
$$
\begin{align*}{}
Q(N)=pQ(N+A)+qQ(N-B) \;\;\; (q:=1-p).
\end{align*}
$$
ここで，登場する金額をすべて負けたときの損失$${B}$$円の何倍かで表すことにする．
$$
\begin{align*}{}
N&=Bn \; (n \in {\mathbb N}),\\
M&=Bm \; ({\mathbb N}\ni m>n),\\
A&=Ba \; (0<a \in {\mathbb R}).\\
\end{align*}
$$
本来，$${n,m}$$は自然数に制限する必要はなく正の実数でもよいが，簡単のため自然数に制限した．すると，上の漸化式は次のように書くことができる．
$$
\begin{align*}{}
Q(n)=pQ(n+a)+qQ(n-1).
\end{align*}
$$
ただし，任意の$${x}$$について，$${Q(Bx)}$$を改めて$${Q(x)}$$と書き直している．また，$${n=0}$$のときは必ず破産し，$${n=m}$$のときは必ず破産しないので，次のような境界条件が満たされなければならない．
$$
\begin{align*}{}
Q(0)&=1,\\
Q(m)&=0.
\end{align*}
$$
ペイオフレシオが1の場合の解
$${a}$$はペイオフレシオ（payoff ratio）と呼ばれる量である．$${a=1}$$のときは，上式は線形3項間漸化式となり，ここで論じた方法で簡単に解くことができる：
$$
\begin{align*}{}
Q(n)=pQ(n+1)+qQ(n-1).
\end{align*}
$$
$${Q(n)=\lambda^n \; (\lambda \in {\mathbb C})}$$とおくと，特性方程式は
$$
\begin{align*}{}
0
=
p\lambda^2-\lambda+q
=
(\lambda-1)(p\lambda-q)
\end{align*}
$$
となるから，$${\lambda=1, r:= \frac{q}{p}}$$である．
$${p \neq q}$$のときは，二つの解が異なるから一般解は
$$
\begin{align*}{}
Q(n)
=
A \cdot 1^n + B \cdot r^n
=
A + B r^n \;\;\; (p \neq q).
\end{align*}
$$
初期条件より$${A,B}$$を決めると，次のようになる．
$$
\begin{align*}{}
Q(n) = \frac{(q/p)^n-(q/p)^m}{1-(q/p)^m} \;\;\; (p \neq q).
\end{align*}
$$
一方，$${p=q=1/2}$$のとき，特性方程式の解は1だけになるから一般解は
$$
\begin{align*}{}
Q(n) = (An+B) \cdot 1^n = An+B \;\;\; (p=q=1/2).
\end{align*}
$$
初期条件より$${A,B}$$を決めると，次のようになる．
$$
\begin{align*}{}
Q(n) = 1-\frac{n}{m} \;\;\; (p=q=1/2).
\end{align*}
$$
ペイオフレシオが1でない場合
$${a \neq 1}$$のとき，上記の問題をバルサラの破産確率の問題といい，ノースイースタン・イリノイ大学のナウザー・バルサラ氏（Nauzer J. Balsara）が1992年に書籍『Money Management Strategies for Futures Traders』で初めて議論した．この場合は解析解を得ることができないので，ある種の近似を行うか，数値シミュレーションで答えを得るしかない．その場合の計算結果を示すのは，次の機会にしよう．