宇宙一分かりやすい『集合』 高校数学I part1

この記事では、高校数学の最初の単元ー「数と式」から出る、集合を宇宙一分かりやすく解説していきます。

数学アレルギーの方でも理解してもらえるよう、イラストや図を豊富に使用し、数式な式も少なめにしました。
有料ですが、後半にはPDFでダウンロードできる練習問題と解説、そしてチートシートがあります。
ぜひ最後まで読んでみてください。

集合とは？

集合は単刀直入に言うと「箱」です。　この「箱」には数字から文字まで「ある一定のルールに当てはまるもの」を入れることができます。このルールはそれぞれの要素を他の要素とグループ分けするために使用されます。

例を挙げると、集合F（フルーツ）は果物のみ、みたいな感じです。

要するに、集合というのは数学や論理で物や数字をグループ分けにして分別するための方法です。

集合の定義方法・作り方

ここからは少し数学的に説明してみます。

集合を数学的に定義したい場合は、下の数式の様に定義するのが一般的です。

$$
A=\set{りんご,バナナ}
$$

上の式では、集合Aにりんごとバナナという２つの要素があると定義しています。

集合が何か更にわかりやすくするために、ベン図を使用します。
ベン図とは「あの丸が重なったり中に丸があったりするアレ」です。おそらく人生で一度は見たことがあると思います。

ベン図を集合で使うのは、ベン図が「ある集合と他の集合の関係性を表すことができる」からです。

試しに今定義した集合をベン図で表してみるとこんな感じです↓

「バナナとりんごの二つの要素が集合Aの中に入っている」という事が画像から分かると思います。

 まとめると、集合は以下のような法則に沿って定義します。

「集合Xに要素xが含まれている」という事を示すにはx∈Xと∈を使用して書きます。

発展

集合同士の関係性

ここから先は主に二つ以上の集合同士の関係性を表す単語や記号を紹介していくのですが、そもそもベン図で表すと二つの集合の関係性は3パターンしかありません。

それぞれ、

• 二つの集合の要素の一部が共通している

• お互い共通にある要素が無い

• 一つの集合がもう一つの集合の全ての要素を含んでおり、かつ他に要素がある

  • お互い含んでいる要素は同じ場合もある（つまりA=B)

これらの関係性を数学的に表してみましょう
まずは「一部が共通している」ということからです。

この場合、数学的には二つの記号があります。

• ∪->XまたはY（全体部分）→和集合

• ⋂→XかつYの要素（共通部分）->共通集合

を表します。

ここでもう一度ベン図を出すと、それぞれ下の図のような状況を表しています。

数学的な例を挙げると、

もし集合Aが1から10までの奇数と15を含んだ集合で、
集合Bが1から10までの偶数と15を含んだ集合だった場合、

$$
A=\set{1,3,5,7,9,15}
B=\set{2,4,6,8,10,15}
$$

と定義します。
そして⋂と∪の値はそれぞれ、

$$
A∪B=\set{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,15}
A⋂B=\set{15}
$$

となります。

これでパターン①は完了です。

パターン②は面倒くさい上にほぼほぼ③の応用でできるので飛ばして次は③の表し方を紹介します。

この場合部分集合という単語を使う事で数学的に表せます。
部分集合の記号は⊆または⊇です。（向きが違うだけ）

部分集合には上の図の様に二種類あります。

• Aの全ての要素がBに含まれており、Bの全ての要素がAに含まれている→つまりAとBが等しい場合

• Aの全ての要素がBに含まれており、AとBは等しく無い（つまりBにはAに含まれない要素がある）場合

①の場合は⊇のような下に線がついている記号で表し、②の場合は線が付いていない⊂を使います。

部分集合はコツさえ掴めば簡単です。

補集合:

補集合はある集合に含まれない要素の集合（集まり）です。
例を挙げると、集合フルーツの補集合には、野菜や他の食べ物が入っていることになります。

補集合は数学的に、ʹ(プライム）を使用して表します。（地域等によって差あり。日本の場合はAなどの上に線が乗っかっているものを補集合の記号とすることもある）

全体集合

全体集合は、そのルールに沿った時に作成できる集合の親の集合の様な物です。
例を挙げると、集合フルーツと集合野菜があったときに、全体集合というのは集合
食べ物見たいな感じのノリです。

もうちょっと数学的に定義すると：

全体集合はその条件下（グループ）の全ての集合や単独の要素を含む集合

となります。
補足として、ベン図で表すとこんな感じになります：

この場合四角が全体集合となる

集合の練習問題

それでは今回の内容を活かして練習問題を解いていきましょう。

１問目:

1から5までの奇数を含む集合Aを定義しろ

２問目：
10から20までの3の倍数が入った集合Tと10から20までの4の倍数が入った集合Fがあるとする。この時のT∪FとT⋂Fの要素を述べよ

答え：
1: A={1,3,5}
2: T∪F={12,15,16,18,20}
T⋂F={12}

まとめ

今回はここまでです。全体集合やサラッと紹介した補集合、空集合については今回の記事が人気であればもっと詳しく解説します。
下の部分は有料部分となっています。有料部分では練習問題とその解説、そして集合のチートシート（まとめシート）が付いています。
250円程度ですので、ぜひ購入していただけると助かります。