【ゲーム理論入門】ChatGPTが作成した ゲーム理論の問題を解く2 予告

また、ChatGPTに問題を作成してもらったので解きたいと思います。次回の演習問題にする予定。
私の解答は一番下に載せておきます。

問題

： 2人のプレイヤーがいるゲームを考えます。各プレイヤーは「上（U）」、「中（M）」または「下（D）」を選択できます。利得行列は以下の通りです。

       | U    M    D
  ------------------
  U  | 4,2  1,1  0,3
  M  | 3,3  2,1  3,2
  D  | 1,3  4,1  2,4

このゲームにおける混合戦略ナッシュ均衡を見つけてください。

ChatGPTによる解答（正しいかどうか判断してください)

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ChatGPT解答

最後に、問題3の回答です。

このゲームでは、混合戦略ナッシュ均衡を求める必要があります。利得行列には純粋戦略ナッシュ均衡は存在しません。

一つの混合戦略ナッシュ均衡は、プレイヤー1が(U, M, D)を確率(1/3, 0, 2/3)で選択し、プレイヤー2が(U, M, D)を確率(1/3, 0, 2/3)で選択する場合です。この戦略プロファイルにおいて、どのプレイヤーも異なる行動を選択することはありません。

S.K解答

プレイヤー2のMが他の選択肢U やDに支配されてるので、Mを正の確率を取るような混合戦略は最適にはならない。
また、これを踏まえて、プレイヤー1のDはMに支配されるので、Dを正の確率を取るような混合戦略は最適にはならない。

     | U     D
  ------------------
  U  | 4,2   0,3
  M  | 3,3   3,2
  D  | 1,3   2,4

     | U     D
  ------------------
  U  | 4,2   0,3
  M  | 3,3   3,2

シンプルな2×2の戦略形ゲームになる。
純戦略によるナッシュ均衡はないので、各選択肢を正の確率で用いることになり、以下の定理が使える：ゲーム理論BASIC演習8、62を参照
https://youtu.be/qbIxa-jnVWc
https://youtu.be/QWJG4m9GSFw

プレイヤー1のUをとる確率 $${p}$$, Mをとる確率$${1-p}$$, 
プレイヤー2のUをとる確率 $${q}$$, Dをとる確率$${1-q}$$として

プレイヤー1が「Uをとるときの期待利得＝Mをとるときの期待利得」となるから

$${4q+0(1-q)=3q+3(1-q) \Leftrightarrow q=\frac{3}{4}}$$

プレイヤー2が「Uをとるときの期待利得＝Dをとるときの期待利得」となるから
$${2p+3(1-p)=3p+2(1-p) \Leftrightarrow p=\frac{1}{2}}$$

ゆえに混合戦略ナッシュ均衡は
$${((p,1-p,0),(q,0,1-q))=((\frac{1}{2},\frac{1}{2},0),(\frac{3}{4},0,\frac{1}{4}))}$$

ChatGPTの解答とは違いますね。ChatGPTの解き方のロジックがよくわからないです。