モンティ・ホール問題を丁寧に解く

「レディース、エーン、ジェントルマーン！

今宵もやってきたあ！一般参加型の究極クエスチョン！

100万円を手にするのはー、あなた！」

デデデンデデデンデーン(照明があなたを照らす)

「あなたはここまでたどり着いたことにより、知力・体力が非常に優れていることが証明されました！

残すは、、運力！

目の前にある三つの扉！

その中の一つが100万円の入っている扉です！

さあ、選んでください！」

…ウイーす。

ぬっひーです。

今日はモンティ・ホール問題について考えていきます。

100万円を手に入れることができる扉は一つ。

あなたは適当に(自分の好きな番号とか、色とか、左右とかで選ぶでしょうが)扉を一つ選びます。

するとここでまた陽気な司会者が、突然別の扉を開けて

「あなたに、最後にもう一度だけ選択するチャンスを与えましょう」

と言ってきます。

この時、二つの扉にうち当たる確率はどちらが高いだろうか、あるいは同じなのだろうか。という問題がモンティ・ホール問題です。

(…結局は同じ二分の一なんだ。己を信じて、最初に決めた扉に決めるぜ…！)

あなたの運命はいかに…！

ーこの問題は、1980年に放送されていた人気テレビゲーム番組、「レッツ・メイク・ア・ディール」という番組で、司会者の名前が「モンティ・ホール」だったことが由来です。

当時新聞コラムの記事を書いていたマリリンは、上の問いに対し、

「最初に選んだ扉から、変えた方が良い。」

と答えたのです。

この回答にアメリカ中の数学者から批判の手紙が殺到したという。

博士たちは皆、確率は変わらないと口を揃えていったのです。

現在、結論から言えば、マリリンが正しいことがわかっています。

多くの数学者を誤らせた「人間の直感」の恐ろしさを後世に語る問題となりました。

さて、それでは問題をといていきましょう。

100万円は左の扉にある時のことを考えます。

ここから、全ての扉を選ぶケースを考えて場合分けします。

①左の扉を選ぶ

司会者は、真ん中か右の扉を開けます。

これはどちらを選んでも結果は変わらないので、今回は右を開けましょう。

ここで、司会者が言います。

選択を変えるか、否か。

結果は、

扉を変える→はずれ

扉を変えない→当たり

となります。

②真ん中を選ぶ

この時、司会者が開ける扉は決まっています。

100万円の扉は開けることができませんから、右の扉を明けますよね。

ここで司会者はいいます。

選択を変えるか、否か。

結果は、

選択を変える→当たり

選択を変えない→はずれ

となります。

③右の扉を選ぶ

②同様、司会者が扉を開けられるのは真ん中の扉だけです。

結果は、

選択を変える→当たり

選択を変えない→はずれ

となります。

もうお気づきですよね？

この問題は、司会者が100万円の扉を知っているということがミソです。

司会者は答えを知っているが故に、100万円の扉を開けることができません。

それはつまり、最初にはずれの扉を選ぶと、司会者がはずれの扉を開けた後、残った部屋は必ず100万円の扉になるということです。

つまり、選択を変えるという行動をとる場合、100万円の扉にありつける確率は、最初にはずれの扉を選ぶ確率になり、2/3になります。

一方で選択を変えないという行動をとる場合、最初に100万円の扉を当てないといけませんから、確率は1/3になります。

どうしてこんなことになってしまったのでしょうか。

それは、確率における全ての事象は同様に確からしい(ランダム)という前提のもと行われる計算だからです。

100万円の扉を知っていて、それを避けるように扉を開ける司会者の存在が、確率論を根本から破壊したと言えるでしょう。

モンティ・ホール問題が問題となり得たのは、まさに、司会者モンティ・ホールに問題があったということです。

では今日はこの辺で。

参考：レナード・ムロディナウ著　The Drunkard's Walk