積分論から測度論へ――『数学のとびら ルベーグ積分と測度』
「数学のとびら」シリーズの一冊、『数学のとびら ルベーグ積分と測度』（山上滋著）のご紹介です。
ルベーグ積分の入門書は数多く出版されていますが、本書はそのなかでも非常にユニークな書籍です。
ポイント① 測度を経由しない
ふつう、「ルベーグ積分」というと、まず一般の集合の$${\sigma}$$加法族が定義され、その上の完全加法的な集合関数として測度が定義され、そして可測関数が定義され、ここまできてようやっと単関数の積分を定義して、……と考えているうちに、
あれ？ いま何をしようとしてたんだっけ？
という根本的な問いにさいなまれ、収束定理までたどり着かずにいったん挫折、という険しいルートが一般的です。
一方本書では、積分を関数のなすベクトル空間上の汎関数と捉え（ダニエル積分）、これを「級数表示」を使って拡張する、という方式を採用しており、測度を経由せず、リーマン積分の拡張として直接的にルベーグ積分が定まります。
これによって、各種の収束定理がかなり早い段階で得られ、積分論の“旨味”に「すっと」たどり着けるようになっています。
ポイント② 測度も入っています
では「測度」は本書で解説していないのか、というと、そんなことはございません。
第3章の「積分と測度」では、測度空間の定義ののち、先ほど定めた積分から測度が定まること、また測度から積分が定まることを確認します。
そのうえで、測度→積分→測度、あるいは積分→測度→積分としたときの対応関係、さらにそこで「$${\sigma}$$有限性」という条件が鍵となってくることなどが、最終節で論じられます。
本書のハイライトシーンのひとつです。
ポイント③ 問題解答が充実
本書の特徴のひとつとして、問題の解答に40頁以上割かれているという点が挙げられます。
百聞は一見に如かず、画像をご覧いただければ幸いです。
著者の山上滋先生による、本書のサポートページも開設されています。
積分と測度のユニークな入門書、ぜひ手に取ってみてくださいませ。
『数学のとびら ルベーグ積分と測度』（山上滋著）
Ａ５判／296頁／定価3300円（本体3000円＋税10％）
主要目次 1．連続関数とリーマン積分／2．ダニエル積分／3．積分と測度／4．くり返し積分／5．$${L^p}$$空間／6．密度定理と双対性／7．単調族と可測性／8．ラドン測度／付録A．集合の言葉など／付録B．位相空間あれこれ