振動か減衰か

複素関数論というのは、何度勉強しても本当にわかった気がしない。理屈はわかるし数式は計算できるんだけど、そこから出てくる結論があまりにアクロバットな感じがして腑に落ちないと言うべきだろうか。コーシー積分がなぜああなるのかを頭の中に絵のように思い浮かべて納得できる人はいるのだろうか。それと同じように、振動をあらわす三角関数と減衰をあらわす指数関数が同じ関数の２つの側面だというのも突飛すぎてなかなか想像できない。陳腐な言い方だが、数学ってすごい。

場の量子論ももちろん数学を使って書かれているので、こういう性質をめいっぱい使うことになる。もうずっと前に学んだときから今に至るまで、本当にわかった気がしないことに、「ウィック回転」というのがある。時間を虚数に取り替えていろんな量を計算しても、最後にもう一度虚数から実数に戻せば正しい結果が得られるという話だ。たいていの教科書ではそういうものだということでさらっと通り過ぎるので、皆あまり深く考えずに使っていたりする。私も最近になってようやくその意味が少しずつわかってきた気がしている。他の人には当たり前なのかもしれないが。

クォークやグルーオンの波をあらわす「場」があるという話をした。ディラック方程式というのを解くと、電子やクォークの波に相当する関数が出てくる。電子が実際に波だというのは、（惜しくも亡くなられた）外村彰先生が電子顕微鏡の実験で示された通りだ。現実の世界はそれでいい。ところが、場の量子論での計算、特に格子理論での計算というのはたいてい時間を虚数に取り替えた「虚時間」というのでやることになっている。これだと波の振動をあらわす三角関数が、減衰をあらわす指数関数になってしまう。だから、格子理論の計算では振動する「波」はあまり出てこない。そこに出てくるのは減衰する「波動」関数ばかりだ。

虚時間を取ると、時間と空間の区別がなくなる。空間3次元と時間をもつ世界は、虚時間にすると単に空間4次元の世界になる。4次元空間のなかでクォークはグルーオンが作り出すランダムな山や谷の間を拡がっていくわけだが、これはクォークの「波」というよりも、むしろ水に落としたインクが水の中を広がっていくのをイメージしたほうがよい。クォークは4次元の空間の中を拡がっていく。もはや時間と空間の区別はない。全方向に拡がるのみだ。

空間の１点にアップ・クォークと反ダウン・クォークの種を置くと、どちらも拡がっていく。離れた別の点で再びアップ・クォークと反ダウン・クォークのペアを測定してみると、元の点からの距離に応じて減衰していくだろう。２つのクォークは、途中では空間のいろんな場所を通って拡散してきたのだが、それがまた同じ点に戻る様子を観測することになる。距離に応じて減衰していく関数。この距離が虚時間だったことを思い出して、元の時間に戻してみよう。すると減衰する関数は、時間とともに振動する関数に戻る。これが量子力学ででてくる波動関数の時間発展に相当する。量子力学では、波動関数は複素数であらわされ、その位相が時間とともに回転する。その振動数がエネルギーに対応するわけだ。つまり、4次元空間中のクォークの拡散の様子を調べると、パイ中間子のエネルギーが読み取れることになる。エネルギー、つまり質量のことだ。

クォークの波はグルーオンの荒波のなかを拡がっていくことを思い出そう。ただの荒波ではない。トポロジカル、つまり、空間のあちこちで巻き付いているような波だ。そこにしみこんでいくクォークは、それほど減衰することなく遠くまで浸透していく。パイ中間子はなぜ軽いのか、興味のある方はこちらに戻ってみていただきたい。

「クォークの気持ち」から転載のうえ改訂。