サピックス：4年生：夏期講習3日目(約数)：算数のメモ
算数授業ノート: 素因数分解と最大公約数
1. 素因数分解
1.1 素因数分解の定義
素因数分解とは、ある数を素数の積で表すこと
例: 6 = 2 × 3 (2と3は素数)
1.2 素因数分解の方法
小さい素数から順に割っていく
割り切れなくなるまで続ける
最後に残った数も素数となる
1.3 素因数分解の例
10の素因数分解:
10 = 2 × 512の素因数分解:
12 = 2 × 2 × 3 = 2² × 3
1.4 素因数分解の利点
数の構造を理解しやすくなる
約数を見つけやすくなる
最大公約数や最小公倍数を求めるのに役立つ
2. 素因数分解と約数の関係
2.1 約数の定義
ある数を割り切ることができる数
2.2 素因数分解を使った約数の求め方
数を素因数分解する
素因数の組み合わせを考える
全ての組み合わせが約数となる
2.3 例: 42の約数
42の素因数分解: 42 = 2 × 3 × 7
約数:
1 (何も選ばない)
2, 3, 7 (1つ選ぶ)
2×3=6, 2×7=14, 3×7=21 (2つ選ぶ)
2×3×7=42 (全て選ぶ)
よって、42の約数は 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42
3. 最大公約数
3.1 最大公約数の定義
2つ以上の整数の公約数のうち、最大のもの
3.2 最大公約数を求める方法
3.2.1 連続法（ユークリッドの互除法）
大きい数を小さい数で割る
余りが出たら、小さい数を余りで割る
余りが0になるまで繰り返す
最後の割る数が最大公約数
例: 32と56の最大公約数
56 ÷ 32 = 1 余り 24
32 ÷ 24 = 1 余り 8
24 ÷ 8 = 3 余り 0
最大公約数は 8
3.2.2 素因数分解を使う方法
両方の数を素因数分解する
共通する素因数を見つける
共通する素因数の積が最大公約数
例: 32と56の最大公約数
32 = 2⁵
56 = 2³ × 7共通する素因数: 2³
最大公約数: 2³ = 8
3.3 3つ以上の数の最大公約数
まず2つの数の最大公約数を求め、それと3つ目の数の最大公約数を求める
この過程を繰り返す
例: 24, 36, 48の最大公約数
24と36の最大公約数: 12
12と48の最大公約数: 12
よって、24, 36, 48の最大公約数は12
4. 応用問題
4.1 等分問題
ビスケットやリンゴなどを等分する問題
余りや不足がある場合の考え方
例題1: ビスケットの等分
問題: 40枚のビスケットを同じ数ずつ子供に分けると、4枚余った。何人の子供に分けられるか？
解き方:
余りを引く: 40 - 4 = 36
36の約数を求める: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
4枚余ったので、4より大きい約数が答え
答え: 6人、9人、12人、18人、36人
例題2: リンゴと梨の等分
問題: リンゴ40個を同じ数ずつ分けると6個余り、梨85個を同じ人数で分けるとちょうど配れた。何人で分けたか？
解き方:
リンゴ: 40 - 6 = 34
34と85の公約数を求める
34と85の最大公約数: 17
答え: 17人
4.2 不足がある場合の等分問題
例題3: ノートと鉛筆の等分
問題: ノート92冊を同じ人数で分けると8冊余り、鉛筆123本を同じ人数で分けると3本足りない。何人で分けられるか？
解き方:
ノート: 92 - 8 = 84
鉛筆: 123 + 3 = 126
84と126の公約数を求める
84 = 2² × 3 × 7
126 = 2 × 3² × 7最大公約数: 2 × 3 × 7 = 42
42の約数: 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42
8冊余っているので、8より大きい約数が答え
答え: 14人、21人、42人
5. まとめ
素因数分解は数を素数の積で表す方法
素因数分解を使うと約数を簡単に求められる
最大公約数は連続法や素因数分解を使って求められる
等分問題では、余りや不足を考慮して公約数を求める
実生活での応用例を考えることで、理解が深まる
6. 復習のポイント
素因数分解の手順を覚える
素因数分解と約数の関係を理解する
最大公約数を求める2つの方法（連続法と素因数分解）を練習する
応用問題では、問題文から必要な情報を抽出し、適切な方法で解く
余りや不足がある場合の考え方を身につける
以上の内容を理解し、練習問題を解くことで、素因数分解と最大公約数に関する理解が深まります。日常生活での応用例を考えることも、学習の定着に役立ちます。