供給曲線の性質を数学で解く！高校数学で分かる経済学
こんにちは、ご覧いただきありがとうございます。
今日は「供給曲線の性質を数学で解く！」というテーマで、簡単な数学を使って供給曲線を解説していきます。
「価格が上がると供給が増える」ってよく聞くけど、本当にそうなの？
なんとなく理解しているけど、ちゃんと数学的に説明できる？
そんな疑問を、高校数学を使ってスッキリ解決しましょう。
高校数学(微分など)を履修したことがある方なら大丈夫！数学が得意でない方も、直感的に分かるように解説していきますので、ぜひ最後まで読んでいってください。
次の流れで説明していきます。
供給曲線とは？
まず初めに、供給曲線について説明していきます。供給曲線とは「供給量と価格」の関係を表した曲線です。また、この曲線は一般に右肩上がりであることが知られています（図1）。
ここで数学として扱いやすいように、
供給量を$${Q_s}$$
価格を$${P}$$
と表します。
ここでなぜ右肩上がりであるのかを直感的に説明すると「生産者はできるだけ価格が高いときに物を売りたい」と考えるためです。つまり、価格が上がると供給量も増えると説明できます。
しかしこれは現段階では、単なる仮定に過ぎません。
「本当に供給曲線は右肩上がりなのか？」これを数学的に示していきたいと思います。つまり、以下の式が成り立つかを考えます。
利潤関数
まずは生産者の利潤関数$${\Pi}$$という物を考えます。利潤関数とは生産量$${Q_s}$$に対して、どれほど利潤を産めるかを表します。ここでは利潤関数を次のように定義します。
ここで、
$${P}$$：価格
$${Q_s}$$：供給量
$${C(Q_s)}$$：総費用関数
を表します。総費用関数とは、供給量$${Q_s}$$を作るのにかかるコストです。
企業は$${Q_s}$$を調整し、利潤を最大化することを目指します。
利潤を最大化
利潤関数$${\Pi}$$を最大化する$${Q_s}$$を見つけましょう。これは$${\Pi}$$の一回微分をすることで求まります。
ここで
は限界費用を表します。限界費用とは物を１単位生産するのに必要なコストです。
したがって利潤が最大になる条件は
であることがわかります。これで$$P$$と$${Q_s}$$の関係が求まりました。
供給関数と供給曲線
式５の両辺を$${Q_s}$$で微分すると
となります。限界費用は追加で生産するのにかかるコストですから、上式の不等式が成り立ちます。以上より式１が成り立つことが示ました。
まとめ
今回は、供給曲線がなぜ右肩上がりなのかを数学を用いて示してみました。以上になります。