対数関数はなぜ便利？指数関数と比較して最初の難しいを回避する方法

はじめに

対数関数を学び始めたばかりの時、「なぜこんな計算が必要なの？」と疑問に思うことがあるかもしれません。指数関数の概要は何となく理解できていても、対数関数の記号や意味がわからず混乱することがあります。そこで今回は、対数関数がどのように便利なのかを具体例を交えて説明します。

指数関数と対数関数の基本

まず、指数関数の基本をおさらいします。例えば、以下の式を考えます。
2の100乗がyを考えてみました。

2^100=y

この場合、指数関数としては、2を100回掛け合わせた結果がyなんだということだけがわかります。
しかし、対数関数を使うと、新しい視点が得られます。
この場合、たとえば、2という底という基礎の数字を４に増やしたとき、何回指数を掛けたらいいか？ということが、対数関数でわかるのです。対数関数は数が膨大、もしくはミクロになった時に便利なツールなのだそう。

逆関数って何？

その前に、指数関数というのは、y=a^xであらわされる関数で、指標となる変化する数が指数xであり、結果がｙという真数です。つまり、指数関数というのは指数がどう変化したら、結果のyという真数が変化するかというものです。

これに対して、対数関数というlogは基礎の構造は指数関数なのです。ただ、笑点、でなくて、焦点の当て方が変わってきます。というのは、指数関数の場合は指数がどう変化したら、結果のyが変化するの？でしたが、
対数関数の場合は、結果のyもいろいろあるよね、当然だよね、指数が変化したら結果が変化するのだから。でも、もし、結果が先にわかっていて、その結果ってどんな指数でできているの？と思った時、結果が分かっている場合に指数がどんなん？がわかるのが、対数関数なのです。

そうなるためには、指数関数であるy=a^xという式について、これは、
結果＝a^指数
となっていますので、指数を結果にするためには、指数を左辺に持ってくる必要があります。そして、結果を要素とするために右辺に持ってくる必要があります。

簡単な式でいいますと、たとえば、y=2xの場合、yという結果はｘという未知数の値によって変わりますというか、ｘがわからないとｙはわかりません。
ですが、yが分からないとxが分からないという状況をつくりだすのです。
そのために、今度は、x=〇〇という、xを結果とする式を作り出す必要があります。
そのために、y=2xを、xについて解きますると、
x=1/2yになりました。

これが逆関数とよばれる所以（「ゆえん：理由」て読むんだって）です！！

つまり、逆関数とは、簡単にまとめると、指標（結果の要素）となっている値と、結果となっている値があったとき、結果を指標にし、指標を結果にすることなんだなと。

y=2xをxについて解いたx=1/2yは、この地点で指標xが結果になっています。ですが、このままだとグラフでは縦方向がxになってしまっているので、yとxの変数をそれぞれ、xをyに、yをxにすると、
y=1/2yとなります。
これが、y=2xの逆関数なのです。

そして、元の関数と逆関数はy=xに対して対称な関係性にあるとされています。なので、y=2xと、y=1/2xはy=xに対して対称です。

ここまでが逆関数についての簡単な説明でした。

で、

対数関数は、指数関数の逆関数と言われています。

なので、指数関数y=a^xを「xについて解いて、そのあとxとyを入れ替えれば対数関数になる」というわけですね。

で、なぜこのようなことをするのか？については、指数重視（指数を結果として取り扱う）ためなんですね。

指数関数y=a^xをxについて解いて、xとyを入れ替えたら、
y=log_a_xとなります。省略して、y=logaxと書いています。
このとき、わかりやすくすると、
指数=log_真数_指数で、省略して、指数＝log真数指数　となります。
たとえば、このとき、指数関数y=a^xにおいて、yは真数、aは底（という数）、xは指数です。
なので、指数関数の場合は、
真数＝底^指数
となっています。

では、具体的に。

対数関数への変換

指数関数を対数関数に変換すると、次のようになります。

たとえば、指数関数2の100乗がyだったとします。（ｙは未知数としています。計算が膨大になるので）
このとき、指数関数であらわすと、y=2^100となり、
注目されるべき結果はｙであり、指数ではありません。指数は指標（yを決める要素）として機能しており、ここでは100という具体的な数値が与えられています。

ですが、指数に着目し、指数を結果にしようよ、ということで、対数関数の登場です。
対数関数は、
指数＝log_底_真数
でしたから、指数100、底２，真数yという未知数でしたので、
指数＝log_底_真数
にあてはめると、
100=log⁡2y

ここで、対数関数としての表現に変換することで、異なる底を持つ場合の計算も可能になります。具体的には、底を2から4に変換することを考えます。
これは、y=2^100のとき、底が２だったら、結果のｙになるまでに100乗したけれど、底を4に変えたら何乗に軽減できる？というものです。底変換ですね。

底の変換

底を2から4に変換すると、次のようになります。
指数＝log_底_真数より、底2,真数yであらわされているlog2yを、底を4に変更するとどうなる？です。

このとき、こういう公式を使います。

新しい底をつくるとき、既存の底をつかったlogは、こう変化させます。

y=2^100という指数関数のとき、
y:既存の真数
2：既存の底
100：既存の指数
4：新しい底
と考えます。このとき、

既存の指数＝log既存の底_既存の真数であらわされていて、具体的には、
100=log2_y
でした。
このとき、こういう変化の決まりがあります。
log既存の底_既存の真数において、既存の底から新しい底に変える時、
⇒
log既存の底_既存の真数は、
（log新しい底_既存の真数）÷（log新しい底_既存の底（このポジションにある既存の底は、このポジションが真数のポジションであることから、新しい真数のことでもあります））

ポイントは既存の底を要素とするlogが分母にきているということです。
そして、新しい底に既存の底が入れ替わったことで、既存の底は、「新しい真数」になっていることにも注目です。

つまり、ポイントを言い換えると、新しい真数になった既存の真数が分母にきていて、新しいlogつまり、logは指数を表しましたので、新しいlogつまり、新しい指数を構成しているということです。

つまり、新しい指数の源（分母）は、既存の真数であるということですね。

前置きでした。

そして、本文、新しい底として4がきたので、
log2yは、log4y ÷log4_2
と変化します。

log⁡2y=log⁡4y/log⁡42

ここで、右辺の分母log⁡4_2 は2なのです。

なぜかといいますと、今度は分母にだけ着目してください。つまり、log4_2だけに着目です。このとき、
既存の底：4
既存の真数：2となっています。

ここから、もう一度、新しい底に既存の底4を変換します。
このときの新しい底は２にします。

すると、
log既存の底_既存の真数は、
（log新しい底_既存の真数）÷（log新しい底_既存の底（このポジションにある既存の底は、このポジションが真数のポジションであることから、新しい真数のことでもあります））

補足

でしたので、
log既存の底4_既存の真数2は、新しい底2に変換するので、

（log新しい底2_既存の真数2）÷（log新しい底2_既存の底4)

で、

（右辺の分母である）log4_2=log2_2 ÷　log2_4

となります。今分母の話しています。
分母において、分母の部分が分数になっています。
分数になった分母の、分数の分母であるlog2_4はこのように変形できます。

log2_2^2

これは既存の底4を2の二乗にしました。

ここで、対数関数では、このような決まりもあります。

「log底＿真数」において、「log底_真数^n」に変形できるのなら、真数にくっついている指数のnは、logの前にもってこれる！つまり、n×logの形にできるということですね。

なので、

分数の分母であるlog2_4はこのように変形できます。
log2_2^2

補足

で説明いたしましたlog2_2^2は、

2×log2_2というように、2の二乗の2部分が、logの前に来たというわけです。

そして、このとき、log底_真数でlog2_2で、そもそも底と真数の関係は、
真数＝底^指数でこれが指数関数で、これを逆関数にし、対数関数にしたのが、log底_真数＝指数
でしたので、
log2_2は、log底＿真数となり、指数関数にすると、2=2^指数となります。

このとき、2の1乗が２ですから、指数は１となります。

そして、log底＿真数は、指数を表しており（logは指数をあらわしている）、log2_2=指数１となります。すると、分母だけに着目した計算はこちらになります。÷以下に着目です。

（右辺の分母の）log4_2=log2_2 ÷　log2_4
∴log4_2=log2_2 ÷{(log2_4)÷(log2_2)}
∴log4_2=log2_2 ÷{(log2_2^2)÷(log2_2)}
∴log4_2=log2_2 ÷{2(log2_2)÷(log2_2)}
ここで、log2_2=1なので、
∴log4_2=log2_2 ÷{(2*1)÷１}
∴log4_2=log2_2 ÷2

というわけで、分母は２になりました。
そして、分子に今度は着目です。分子log2_2も、このlogは、2乗して２になるような指数のことをいっているので、この時の指数は１となります。
∴log4_2=log2_2 ÷2
∴（右辺の分母の）log4_2=1 ÷2
というわけで、
右辺の分母のlog4_2は1/2であることがわかったので、右辺の分母は1/2で計算を進めていきます。

で、何の話だったっけ？となりませんか？
2^100=yのとき、２を4にしたら何乗ですむのか？ということでした。
まずは既存の底2だけで考えて、指数関数から対数関数にします。
（復習）
2^100=yについて、新しい底4^何乗のx=未知数のyが指数関数なので、対数関数になおすと、指数xについて解いて、ｘとyを入れ替える逆関数だったので、そうすると、
x=log2y

xとyをいれかえて、
y=log2x

ここから、新しい底4に既存の底2を変換し、このときにですね、決まりがあって、右辺が分数になったのですね。

log⁡2y=log⁡4y/log⁡42

そいで、分母だけに着目して、さらに分母だけ、新しい底２にまた変換したので、分母は1/2になったのでしたね。（復習終わり）

log⁡2y=log⁡4y/log⁡42は、分母1/2なので、
log⁡2y=log⁡4y÷(1/2）
そもそも、左辺のlog2yは、y=2^xという指数関数を対数関数に変換したものなのと、logは指数をあらわしているので、
xという指数＝log2y
です。

ここで、指数は2^100=yでしたので、指数は100ですので、
100=log⁡2y=log⁡4y÷(1/2）
となります。
ここで、「÷分数」というのは、たとえば、2÷1/2は、2*2となりますから（逆数をかけるので）、

100=log⁡2y=log⁡4y÷(1/2）
∴100=2log4y(補足：100とlog⁡4y÷(1/2）だけに着目。既存の底２のlogは考えずに）
両辺を2で割って、
50=log4y

log4yとは、底4,真数yのとき、指数関数であらわすと、y=4^xとなり、x=log4yの意味です。
つまり、底4にしたら、指数ｘは50ですむということがわかりました。

log⁡4y=100/2=50

したがって、底を4に変換した場合の式は、

4^50=y

となります。

このように、aのx乗というとき、xの値が膨大で、真数yの値もわからなくても、底aと指数xさえわかれば、底の大きさを大きくすれば、指数がどれくらい減らせるかなどがわかるということですね。

結論

対数関数を使うことで、底を変換しても結果（真数）が同じであることを確認できます。これにより、掛け算の回数を半分に減らしながらも、同じ結果を得ることができるのです。対数関数はこのように、計算の効率化や数値の比較を直感的に行うための強力なツールです。

対数関数の重要性と用途

1. 指数関数の逆関数:

   • 対数関数 y=log⁡axy = \log_a{x} は、指数関数 y=axy = a^x の逆関数です。対数関数を使うことで、指数関数の逆操作を簡単に行うことができます。

2. スケールの変換:

   • 対数関数は、非常に大きな数や非常に小さな数を扱う際に便利です。例えば、地震のマグニチュードや音の強さ（デシベル）、酸性度（pH値）などは対数関数で表されます。これにより、数値のスケールを簡単に理解しやすくなります。

3. 掛け算を足し算に変換:

   • 対数関数の性質を利用すると、掛け算を足し算に変換できます。これにより、計算が簡単になります。例えば、対数の性質を使えば、次のような関係が成り立ちます：

log⁡a(xy)=log⁡ax+log⁡ay

これにより、掛け算の計算が足し算に変換され、計算が容易になります。

1. 指数的な成長や減衰の解析:

   • 対数関数は、指数的な成長や減衰の解析に非常に有用です。例えば、細菌の増殖や放射性物質の崩壊など、指数関数的に変化する現象を解析する際に使われます。

2. 微分と積分:

   • 対数関数は、微分積分学においても重要です。例えば、対数関数の微分は簡単に求めることができ、積分の計算にも役立ちます。

具体例

1. 地震のマグニチュード:

   • 地震のエネルギーは対数スケールで表されます。例えば、マグニチュード7と8の地震はエネルギーにおいて10倍の差があります。

2. 酸性度（pH値）:

   • pH値は水素イオン濃度の対数で表されます。これにより、酸性度やアルカリ度を簡単に比較できます。

3. 金融:

   • 対数関数は、金融の利回りやリスクの解析にも使われます。例えば、対数収益は金融商品のリスクとリターンを評価する際に重要です。

多角的な見方

1. 指数関数:

   • 指数関数 y=axy = a^x は、xが増加するにつれてどのようにyが指数的に成長するかを示しています。

   • これは、例えば投資の利回りや人口増加など、指数的な成長を解析するのに適しています。

2. 対数関数:

   • 対数関数 y=log⁡axy = \log_a{x} は、yが変化することでxがどのように変化するかを示しています。

   • これは、例えばデシベルスケールでの音の強さや地震のマグニチュードなど、指数的な変化を解析するのに適しています。

因果関係の多角的な理解

対数関数を使うことで、特定の変数（真数x）がどのように変化するかを解析することができます。これにより、次のような利点があります。

1. 逆の見方:

   • 指数関数では、xの変化に対するyの結果を見ることができますが、対数関数ではその逆で、yの変化に対するxの結果を解析できます。

   • 例えば、どのような条件で特定の結果（真数）に到達するかを理解するのに有用です。

2. スケールの変換:

   • 対数関数を使うことで、非常に大きな数や非常に小さな数を扱いやすくなります。これにより、データを比較しやすくなります。

   • 例えば、地震の強さや音の強さなど、対数スケールで表現することで、直感的に理解しやすくなります。

例

• 地震のマグニチュード:

  • マグニチュード6と7の地震は、エネルギーにおいて10倍の差があります。対数スケールを使うことで、この差を直感的に理解できます。

• 投資の利回り:

  • 投資の利回りを対数で解析することで、リターンの成長をより詳細に理解できます。

ワンタッチャブル