5種類の平行多面体
菱形12面体は，ケプラーが見つけた周期的に空間を埋めることができる多面体です．ケプラーのエッセイ「六角形の雪片について」（1611年）は「宇宙の調和」の最初の幾何学的章とともに，結晶学発展の出発点と言われます．
フェドロフ（1853-1919）
1885年に出版した「図形研究の始まり」は，結晶学における彼の有名な研究の始まりです．この本で，周期的に空間を埋める平行多面体をリストアップしました．
立方体，正六角柱，菱形十二面体，細長い菱形十二面体，切頂八面体です．最初の2つはすでに知られていますが，ケプラーは3番目を見つけました．
■最後の１つについて以下で取り上げましょう．
切頂8面体というのは，正8面体のとがった頂点を切って作った多面体です．この多面体は2巣類の面でできています．始めの正8面体の面（水色）と切り口の面（立方体の面で黄色）とで，6・8面体ともケルビン立体とも呼ばれることがあります．この多面体を平行な反対側の面を合わせて積み上げると，隙間なく空間が充填できます．周期的に配列した様子は立方体心格子になります．
上の図は，切頂される初めの多面体を立方体として，切頂の深さを変えて最終的に6・8面体と同じ切頂6面体（見方によっては切頂8面体）ができるまでのチャートです．
（美しい幾何学,p.62,63より）