結晶群とその一般化（１）
空間群の発見
群拡大理論による基礎づけ
群の一般化，特性の対称性
対称性．群
結晶空間
フェドロフ結晶空間群
■ 対称性と点群
群
集合$${G=\{a, b, c, \cdots \}}$$が群と呼ばれるのは，次の公理を満たす場合である：
０） $${a, b \in G}$$, $${a \circ b \in G }$$ ⇐ 二項演算が定義される
１） $${\left( a \circ b \right) \circ c=a \circ \left( b \circ c \right)}$$ ⇐結合律
２） $${a \circ e=e \circ a=a}$$ ⇐単位元$${e}$$の存在，for$${ \forall a \in G}$$
３） $${a \circ x=x \circ a=e}$$ ⇐$${a}$$の逆元$${x=a^{-1}}$$の存在
◆ 群の乗積表(3mの例）で群の公理を確認ください．
■ 群の例
結晶空間の対称操作の集合の作る群を考えよう：
結晶空間＝周期的な空間＝単位胞によりデジタル化された空間
・結晶空間で１点の特異点（不動点）をもつ対称操作の組み合わせ結晶点群
・不動点はない結晶空間の対称操作の組み合わせ 結晶空間群
結晶空間（デジタル化された空間）は無限に広がる格子のイメージ：
格子点はすべて同値と見做すならば，結晶空間群は結晶点群に還元できる．
⇒結晶空間群は，並進群を核(法として)とする準同型写像で結晶点群と同型
無限に経過する時間を，時計の文字盤（12時間）に閉じ込めるようなもので，無限に繰り返す周期的な結晶空間を単位胞のなかに閉じ込める．
■ 2次元で演習：
2次元平面を並進だけでタイル張りできる平行凸多辺形タイルは，
平行4辺形（4種），平行6辺形（4種）である．
８つの各平行多辺形を等価な部分に分割すると，図のように40種類の様式があり，対称性の同じものをまとめ整理すると，共型平面群13種類（映進操作を含まないもの）が数え上げられる．点群（並進を含まないもの）としては10種である．ただし，上図の分割様式中に非共型平面群１種類，p2ggがすでに出現している．しかし，共型群（13種類）を求めて，それから，非共型群（4種類）を導くのが王道である．2次元空間群（平面群）は計17種類ある．
詳細は以下の項目参照；
■ 2次元結晶空間群のまとめ
■ 3次元結晶空間群
A.M.シェンフリーズ(1853-1928，フランクフルト大，数学)
E.S.フェドロフ(1853-1919，ぺテルスブルグ大，鉱物学)
W.バーロー(1845-1895，ロンドンの実業家)
この3人は，1890-1895の間に互いに独立にそれぞれの仕事を完成させた．
周期的な3次元空間を充填できる平行多面体は，フェドロフ平行多面体と言い5種類ある．2次元の場合と同様にそれぞれを等価な部分に分割して，対称性の異なるものだけ数え上げると，3次元結晶空間の場合は230種類があるが，そのうちの共型なもの73種類が得られる．さらにそれらから非共型なもの157種類の導出は2次元の場合と同様である．
結晶空間群の発見は，その20年後に実用化される運命であったX線結晶構造解析への準備となった．
1895，W.C.レントゲンがX線を発見．1912，M. vonラウエが結晶によるX線の回折を観測．1913以降，ブラッグ父子によりダイヤモンドなどの結晶構造解析が行われる．
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