230種の結晶空間群．結晶構造
結晶空間（＝3次元の離散体）のブラベー格子は，14種類ある．ブラベー格子とは，結晶の内部構造の並進性とその対称性により，結晶構造を分類する概念である．
結晶空間は，無限に広がる3次元周期をもつ離散体（デジタル化された空間）なので，
①並進性（並進群で記述）：並進で移動できる点（格子点）はすべて同価．
②格子点自体には，点群で記述される対称性がある．
結晶空間の全域に作用し，これを不変に保つ対称操作の集合が，その結晶空間の結晶空間群であり，結晶空間群の対称操作は，結晶点群と並進群の対称操作の組み合わせである．もちろん，並進群だけで結晶空間群の部分群を作る．結晶空間全域に作用し，結晶空間を不変に保つ結晶点群の対称操作は，当然，局所の格子点自体が従う対称操作でもある．
注）
並進群：3次元結晶空間には，互いに独立な基本並進ベクトルa, b, cがあり，その任意の1次結合n･a+m･b+l･cを格子点といい，すべての格子点の集合（無限集合）を格子という．格子は並進群の図的表現でもある．
結晶点群：結晶空間の対称操作（変換の前後で空間を不変に保つ操作）で，かつ，空間の1点を不動（特異点）にする対称操作の全体が作る群．
無限に広がる結晶空間で，並進で移動した位置はすべて同値（格子点はすべて同値）と考えると，無限個ある格子点を1点に還元でき，結晶空間群を結晶点群に還元することができる．
■石英，岩塩，ダイヤモンドの結晶構造の例．
低温水晶α-quartzの構造を観察すると，図面に垂直な３回らせん軸（風車のような記号）が，正3角形の格子点に分布しているのがわかる．これらの3回らせん軸は，1つの空間群のなかでは，すべて右まわりか左まわりに統一されている：空間群の記号でP3_{1}21（右），P3_{2}21（左）．
石英の組成はSiO_{2}だが，この図に描かれているのはSiだけで，Si位置の紙面レベルからの高さを，黒丸，白丸，半黒丸で区別している．紙面に垂直方向の周期をc=1とすると，黒丸（+1/3レベル），白丸（-1/3レベル），半黒丸（0レベル）である．
紙面の矢印は，水平面内にある2回軸で，その高さレベルの数字が記されている．
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上図はNaCl結晶の単位胞を示す．Naイオン（黒丸）とClイオン（白丸）が，立方体の辺に沿って，あるいは，面の対角線や体対角線に沿って，交互に並んでいる．黒丸と白丸は，イオンの種類が異なるので互いに同価点ではないが，両者のペアは同価点になれる．例えば，白丸だけをペアの代表（格子点）と考えると面心格子Fになっていることが理解できる．
NaCl結晶構造の対称性は，並進（格子）だけではない．黒丸，および，白丸位置の対称性（点群）は，ともにｍ-3m（非座標記法では~6/4）である．この点群のステレオ投影図を，黒丸と白丸の位置に配置したものを上図に示した．NaCl結晶構造の空間群はFm-3mである．
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上図に示すのは，ダイヤモンドの結晶構造である．これは，2つの面心立方格子Fを，立方体の体対角線の方向に1/4だけ相対的にずらし重ねたものを考え，両方の面心立方格子の格子点に炭素原子を置いたものである．両方の面心格子の格子点をペアで代表点とすると考えれば，ダイヤモンド構造の格子は，面心立方格子Fであることがわかる．
２つの面心格子（黒と赤）は，例えば，映進面dにより互いに変換し合う．
黒の面心格子を，dで鏡映し，かつ，(1/4)a＋(1/4)cだけ平行移動すると，赤の面心格子に変換され，この逆も成立する．ここで現れたdをダイヤモンド映進面と呼ぶ．
面心格子の格子点の点群は-43ｍ=3/~4で空間群はF-43mであるが，ダイヤモンド構造では，2種類の炭素原子がこれらの２つの副格子の格子点を占めていて，ダイヤモンド構造の空間群はFd-3mである．
空間群Fm-3mとFd-3mには，共通な部分群F-43mを含み，点群m-3mとd-3m（格子を法とする点群）は，互いに同型な点群である．結局，空間群Fd-3mは空間群Fm-3mから，鏡映面mを映進面dに置き換えて得られる．