KVANTIK数学コンクールの幾何の問題

2019/20年度の数学コンクールの年間ツアーの問題から、幾何の問題をいくつか選びました。2019/2020年度の年間ツアーの応募は終了しました。受賞者は12月号で発表されます。この数学コンクールは5年生～8年生が対象です。なかなか難しい問題です。試しにご挑戦ください。

ラウンドXー問題50（ジョン・コンウェイ）
図に示すように、任意の三角形の各辺が両方向に延長して得られた6つの点は1つの円上にあることを証明しなさい。

ラウンドIXー問題43 （Mikhail Evdokimov）
図に示すように、 正三角形 AMB と ANCは、一辺の長さ１の正方形ABCDの対角線と側面に作成 されます。距離MNを求めなさい。

ラウンドVIIー問題32 （Mikhail Evdokimov）
正方形ABCDのBC側には、外側に正三角形BMCを描きます。線分ACとMDは点Oで交差します。OA = OMであることを証明しなさい。

ラウンドIVー問題18
図示されているように、点Kは、二等辺三角形BACの底辺BCを長さxとyに分割します。角度AKCが60°の場合のAKの長さを求めなさい。

ラウンドIー問題4 （Mikhail Evdokimov）
図に示すように、2つの正方形が平面上にあります。一方の正方形の中心がもう一方の正方形の対角線上にあることを証明しなさい。