数学の問題kvantikより

18/19学年度のクバンチク数学コンテストなどの問題より
３つ選びました．挑戦してみましょう．

■雑誌エレメント2020.9より改題
平方数A_n（n=1,2,3,4,5,6････）とは；1,4,9,16,25,36，･････
（一辺nの正方形の中に直径１の円を並べたとき入る円の数）
3角数B_m（m=1,2,3,4,5,6,･･･）とは；1,3,6,10,15,21,･････
（一辺nの正3角形の中に直径１の円を並べたとき入る円の数）
平方数でもあり3角数でもある数を求めなさい．無限にありますがいくつ求められますか．
ヒント）A_n=n^2 ，B_m=m(m+1)/2　です．

■７ラウンド問題34より
図に示すように，2つの黄色の等辺三角形が正方形に配置されています．マークされた3つのポイントが等辺の三角形を形成していることを証明しなさい．

■４ラウンド問題20（エゴールバカエフ）より
円は三角形の辺と6点で交差します（図を参照）．
a）a = bおよびc = dの場合，e = fであることを証明しなさい．
b）b = cおよびd = eの場合，f = aであることを証明しなさい．