数学ー可能性を記述する言語

数学は，科学，技術，経済など多くの領域で重要な役割を果たしています．
問題の定式化と解決，予測の作成，モデルの構築，新しい技術の開発などに役立ち，私たちの理解と世界の変革の可能性を大幅に拡大しています．
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生物学では，生物を研究します． 天文学では，天体を研究します． 化学では，物質の種類とその相互変換を研究します．私たちは現実世界で何かを観察し，測定し，特定の条件下で特殊な実験を行い（ただし，天文学では行いません），それらの結果をもとに説明的なパラダイムを構築します．それは科学の進展の重要なマイルストーンとなります．しかし，数学では，何を研究しているのでしょうか？その答えの1つは，実際の対象であるかのように扱えるアイデアを研究しているということです．

それぞれのアイデアは，利用される可能性のあるあらゆる文脈でその形を保持するために十分に堅牢である必要があります［訳者注：数学はどんな分野や局面でも，独立して適用できるということ］．同時に，それぞれのアイデアには他の数学的なアイデアとつながりを持てる豊かなポテンシャルが必要です．最初のアイデアのコンプレックスが形成されると，これらのアイデア間の関係も数学的な対象となり，抽象の巨大な階層の最初のレベルを形成します．この階層の最下部には，物事自体の思考イメージやそれらを操作する方法があります．驚くべきことに，高レベルの抽象概念さえも何らかの形で現実を反映することがあります．たとえば，物理学者が得た世界の知識は数学の言語でしか表現できません．
現実世界の理解に数学がどのように応用されるかを理解するためには，数学をモデル，理論，およびメタファー［隠喩］の3つのモードで考えると便利です．
数学的モデルは，特定の現象のクラスを定量的または定性的に説明しますが，それ以上のことを主張することはありません．
定性的なモデルは，安定性や不安定性，アトラクター（初期条件に依存しない平衡状態），相転移（複雑なシステムが2つの相または異なるアトラクターを持つ2つの盆地の間の境界を越えるときに起こる現象）などの現象の理解に役立ちます．
理論とモデルの違いで最も重要な点は，理論の主張は広範であることです．理論を創造し続ける力は，物質的な世界とは独立して存在し，数学的な道具でしか認識できないものです．
数学的比喩は，それが認知のための道具であると主張する場合，ある複雑な現象群をある数学的構成要素に例えることができると仮定します．
数学理論は，作業モデルを構築するための招待状であり，数学的隠喩は，私たちが知っていることに思考を誘うものである．もちろん，この区分は厳密でも絶対でもありません．
構造的な観点から見ると，数学の発展は言語の発展と並行して行われます．数学と言語の両方が，現実（客観的に存在する範囲で）と観察可能なものとの間の橋渡しとなります．すなわち，現実が意識にどのように反映されるかを示します．

私は，科学，特に数学が私たちの文明の推進力ではないと信じています．科学のおかげで私たちは地図や機械を持っていますが，科学は私たちの行くべき方向や行くべきでない場所を決めるものではありません．科学が決定できると考えることは，知識を魔法の一形態と見なす古代的な認識の時代に戻ることになります．
［訳者注：すべてが不確実な世界．トランスサイエンスの時代に，科学や数学で決定できると思うのは幻想でしかない］
その時代では，日食を予測したり，未知の結果がどのように解決されるかを予見した人は，象徴的な表現を操作して出来事を引き起こす魔術師と見なされました．実際には，思考の生物学的な機能は，自発的な反応を引き起こすことではなく，それらを防ぐことにあります．
かつて，巫者やシャーマンは，部族の居住地や出来事，住民などを直接的にではなく，可能性の空間を記述していました．巫者は実用的な問題の解決には関与せず，それは部族の指導者が行っていました．ただし，指導者は自身のシャーマンやアドバイザーに耳を傾け，行動の選択において彼らの助言を受けていました．
有名な古代の例として，リュディア王クロイソスの物語があります．彼はペルシャとの戦争に備えてデルフォイの神託に助言を求めたところ，「クロイソスよ，ギリシャを渡るならば，偉大な王国を破壊するだろう」と答えられましたが，具体的にどの王国を指しているのかは明確にされませんでした．クロイソスはギリシャを渡り，結果として敗北しました．
［訳者注：ギリシャはエーゲ海をはさんでリュディアの対岸にある．デルフォイの神託とは，巫女が神懸かり状態となり，予言の神アポロンの言葉を語るものである］
数学は現実世界の位相空間や可能性の空間を記述し，この位相空間における可能な軌跡を決定する法則や，特定の位相軌跡を選択するために必要な条件を研究します．
Манин Юрий Иванович
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СОСТАВЛЯЮЩАЯ, p.40-41
応用：文明
数学： 数学一般